矩阵保持问题在某些领域有着广泛的实际应用背景，其很多研究具有较强的实际意义.设F是一个域，n为整数且n≥2.用Mn(F)记F上所有n×n矩阵的集合.如果一个映射f∶Mn(F)→Mn(F))被定义如下，f∶B=(bij)→(fij(bij))，(V)B∈Mn(F），其中{fij|i，j∈{1，2，…n}}是关于F的函数集，[1，n]代表集{1，2…n}，则称f是Mn(F)的由{fij}诱导的映射.　　对保持问题研究，现在人们感兴趣于没有线性和加法假定的情形，确定保不变量的诱导映射，就属于这种情形，设f是由fij诱导的映射，令K表示Mn(F)中所有幂等阵的集合，如果B∈K意味着f(B)∈K，则称f保幂等.设f是由fij诱导的映射，用Sn(F)表示F上所有n×n对称矩阵的集合，如果对于A，B，AB∈Sn(F)有f(AB)=f(A)f(B)，则f被称为保矩阵乘积，本文刻画了域上保n阶幂等矩阵的诱导映射，确定了体上n阶上三角阵保幂等的诱导映射，研究了Sn(F)的保乘积的诱导映射.本文最后又给出了上三角矩阵代数之间经典伴随交换单射的结果，