【摘 要】
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矩阵LU分解的算法是数值线性代数领域的一个重要的研究分支,其在科学和工程计算中也有着广泛应用。在大数据时代,传统的确定性算法因计算成本和数据传输成本过高,难以满足实际应用中的需求。于是学者提出了LU分解的随机算法,其很大程度上提高了大规模矩阵的分解效率。但现有的随机算法至少需要读取原始矩阵两次,因而不适合解决储存在核内存外部的大规模数据和流型数据的LU分解问题。为此,本文基于LU分解的随机算法,研
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矩阵LU分解的算法是数值线性代数领域的一个重要的研究分支,其在科学和工程计算中也有着广泛应用。在大数据时代,传统的确定性算法因计算成本和数据传输成本过高,难以满足实际应用中的需求。于是学者提出了LU分解的随机算法,其很大程度上提高了大规模矩阵的分解效率。但现有的随机算法至少需要读取原始矩阵两次,因而不适合解决储存在核内存外部的大规模数据和流型数据的LU分解问题。为此,本文基于LU分解的随机算法,研究了其单pass随机算法,即新算法只需读取原始矩阵一次。此外,本文还考虑了Cholesky分解的随机算法。具体内容如下:针对LU分解,本文主要提出了三种单pass随机算法:常规的单pass随机算法,子空间-Orbit单pass随机算法和双边的单pass随机算法,给出了相应算法的严格误差上界和算法复杂度,同时分析了各算法的优缺点及在流型数据上的适用范围。数值实验显示,在不考虑原始数据读取成本的前提下,几种单pass随机算法与已有的随机算法具有相似的低秩逼近精度和时间成本,而在大数据时代,数据传输成本一般高于算法运行的成本,因此,本文的单pass随机算法在总体计算成本上具有重要的优势。针对Cholesky分解,本文提出了一种新的随机算法,并给出了算法的严格误差上界和算法复杂度。数值实验显示,相比已有的随机算法与对角主元的Cholesky分解算法,新的随机算法在矩阵的低秩逼近分解中具有更好的效果。
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