【摘 要】
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本文将对带有加法噪音的非自治随机耦合Sine-Gordon方程组解的渐近行为进行研究,其主要结果是证明了耦合Sine-Gordon方程组的U-拉回吸引子的存在性及其上半连续性.Sine-Gordon方程具有许多有趣的物理现象和实用价值,因而它成为无穷动力系统中的一个重要模型.设Ω是Rn上一个具有光滑边界的有界开集,我们考虑如下形式的非自治耦合Sine-Gordon 方程组:(?)其中,ui=ui(
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本文将对带有加法噪音的非自治随机耦合Sine-Gordon方程组解的渐近行为进行研究,其主要结果是证明了耦合Sine-Gordon方程组的U-拉回吸引子的存在性及其上半连续性.Sine-Gordon方程具有许多有趣的物理现象和实用价值,因而它成为无穷动力系统中的一个重要模型.设Ω是Rn上一个具有光滑边界的有界开集,我们考虑如下形式的非自治耦合Sine-Gordon 方程组:(?)其中,ui=ui(x,t),i=1,2为定义在×[τ,+∞),τ ∈ R上的实值未知函数,α是阻尼系数,且qi(x)∈H01(Ω)∩H2(Ω),i=1,2是与时间无关的函数.而W(t)是一维实值双边Wiener过程w(t)的导数形式.qi(x)W(t),i=1,2描述了一个白噪声.依赖于时间变量的外力项fi(x,t)∈ Lloc2(R,H01(Ω)),i=1,2并满足以下两个条件:即对(?)δ>0,τ∈R,i=1,2 有(?)文献[7,11,8]研究了单变量Sine-Gordon方程,此外,文献[16,17,18,19]已经研究了自治的Sine-Gordon方程组的随机吸引子的存在性.该文所讨论的方程组从三方面推广了文献[7]中的相应方程:i.两个变量的耦合Sine-Gordon方程组;ii.非自治性,即外力项依赖时间参数;iii.加法噪音.本文共有四章:第一章:介绍了非自治随机动力系统和随机拉回吸引子的基本理论.第二章:利用O-U过程,作变量替换,证明所讨论的Sine-Gordon方程组能产生一个连续的非自治随机动力系统(协循环).第三章:运用解的一致估计证明了u-吸收集的存在性,并由解的分解技巧证明了该协循环的u-拉回渐近紧性,从而证明了耦合Sine-Gordon方程组的u-拉回吸引子的存在性.第四章:通过证明随机动力系统的收敛性,进而证明了u-拉回吸引子的上半连续性.
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