【摘 要】
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近年来,状态依赖时滞微分方程在电动力学、人口增长、经济学、工程技术、神经网络、网络拥塞控制等诸多领域得到应用.然而,与常数时滞微分方程不同,由于状态依赖时滞微分方程（SD-DDEs）的解空间具有较弱的光滑性,使得对其进行的理论研究面临了巨大挑战.这也使得对状态依赖时滞微分方程（SD-DDEs）的基础理论研究变得更加复杂.目前,关于状态依赖时滞微分方程的动力学和分岔的解析研究方法十分缺乏.因此,有必
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近年来,状态依赖时滞微分方程在电动力学、人口增长、经济学、工程技术、神经网络、网络拥塞控制等诸多领域得到应用.然而,与常数时滞微分方程不同,由于状态依赖时滞微分方程（SD-DDEs）的解空间具有较弱的光滑性,使得对其进行的理论研究面临了巨大挑战.这也使得对状态依赖时滞微分方程（SD-DDEs）的基础理论研究变得更加复杂.目前,关于状态依赖时滞微分方程的动力学和分岔的解析研究方法十分缺乏.因此,有必要探索一些新的有效的方法来研究状态依赖时滞微分方程系统中的复杂动力学现象.本论文主要专注于探索一些有效的数学方法对状态依赖时滞微分方程的复杂动力学进行研究.我们主要致力于尝试将多尺度方法（MMS）和谐波平衡-时频交替法（HB-AFT）推广至状态依赖时滞微分方程,并研究系统的复杂动力学和周期解的解析近似表达式.这是一项十分有益的工作并且对实际应用具有重要的指导意义.本文的主要工作如下所示:（1）详细综述了自2006年以来状态依赖时滞微分方程的发展和应用.首先,我们总结了近年来发展的对状态依赖时滞微分方程的基本理论,如初值问题的理论框架、线性化与稳定性、解的不变流形、周期解和Hopf分岔理论等.然后,介绍了状态依赖时滞微分方程在数学建模、稳定性、分岔等领域的应用.最后,我们对状态依赖时滞微分方程的研究进行展望.（2）将多尺度方法（MMS）推广至状态依赖时滞微分方程的研究中.基于形式线性化方法、稳定性理论、多尺度方法（MMS）和规范形方法,详细研究了状态依赖时滞微分方程的一个简单线性范例的Hopf分岔和双Hopf分岔.数值结果和解析结果对比验证表明了多尺度方法（MMS）是有效并且精确的.（3）将多尺度方法（MMS）应用于探究基因表达过程中的复杂振荡机理.为了解释基因表达过程中的振荡现象,基于多尺度方法（MMS）和规范形方法探究了具有状态依赖时滞的基因表达模型的Hopf分岔和双Hopf分岔.此外,本文探究了周期解、概周期解、周期2解等丰富且复杂的振荡现象.这将对理解基因表达过程中的复杂振荡机理具有重要意义.（4）将谐波平衡-时频交替法（HB-AFT）推广至具有状态依赖时滞和非光滑函数的微分方程的周期解的研究.首次利用HB-AFT方法详细考虑了网络拥塞控制系统源动力学和队列动力学的周期解.此外,利用数值分岔分析方法展示了系统的复杂动力学现象,如双稳态周期解、周期m解、混沌、多稳态等.这表明网络拥塞控制系统中存在十分复杂并且复杂的动力学现象.因此,基于上述分析结果,可以利用控制方法和参数调整避免网络拥塞并优化网络的性能.这将对网络拥塞控制的实际应用提供重要的指导意义.本文的主要创新点如下所示:（1）将多尺度方法（MMS）成功地推广至状态依赖时滞微分方程的研究中.（2）将谐波平衡-时频交替法（HB-AFT）推广至具有状态依赖时滞和非光滑函数的微分方程中并获得其周期解的解析近似表达式.（3）详细探究了状态依赖时滞微分方程地复杂动力学,例如周期m解、环面、锁相解、混沌以及多稳态解等.
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