斐波那契多项式、卢卡斯多项式及斐波那契序列、卢卡斯序列等,是数论领域最常见的二阶线性递归多项式与序列,它们的算术性质在经济,物理,科学方面发挥着重要的作用,因此对二阶递归多项式及其对应数列的研究一直以来是数论工作探讨的基础与重点。日本学者Ohtsuka和Nakamura曾巧妙的运用不等式的关系,发现了斐波那契数列的倒数和取整的公式,但是这个方法并不具有推广性。随后,很多学者展开了更一般的研究,例如其他二阶线性递推数列、多项式的倒数求和公式,及高次无限和的倒数公式计算。一直到现在,学者们致力于斐波那契多项式、两类切比雪夫多项式、卢卡斯多项式等二阶线性递归多项式的诸多算术性质研究,包括高次幂的降幂公式,卷积的简便计算公式,积分和的计算等,并得到许多有趣的结论。本文通过借助多项式的生成函数的表示和性质,计算各种多项式的卷积、组合公式等,对相关研究逐步深入,运用初等计算方式,研究了一些二阶线性递推多项式的卷积、高次幂和及相关倒数和的计算问题。实际上,在二阶线性递推多项式中取一些特殊值,就立刻可以得到一些特殊的二阶线性递推数列的相关计算公式,为研究二阶线性递推数列的恒等式计算提供了更一般的方法,因此很有必要研究。此外,解析数论中的算术函数一系列性质讨论也是数论探讨工作的热点。本文运用解析方法,借助高斯和的性质,研究了与Dedekind和相关的一个新和式的恒等式,并给出其在特殊点的值。第二章由于多项式的卷积、高次幂和、倒数和可以用最简单的计算公式表达出来,即把抽象难懂的公式最简化,因此,用初等方法研究了新型多项式的卷积、高次幂和、倒数和的恒等式,从而得出几个定理。第三章主要运用解析方法,发现了与Dedekind和相关的新和式的计算性质,其在特殊条件下可与Dedekind和相互转化,解释了两者的内在联系,并求解了在特殊值下的新型和式的恒等式。