【摘 要】
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计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,简称CAGD）主要研究几何造型相关的理论、算法与应用。基于曲线曲面的数据拟合,即采用曲线和曲面插值或逼近给定数据点集,是CAGD研究的核心内容之一。渐进迭代逼近（Progressive Iterative Approximation,简称PIA）是一种非常直观和有效的数据拟合方法,因其算法简单且具有直观的几何意义等
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计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,简称CAGD）主要研究几何造型相关的理论、算法与应用。基于曲线曲面的数据拟合,即采用曲线和曲面插值或逼近给定数据点集,是CAGD研究的核心内容之一。渐进迭代逼近（Progressive Iterative Approximation,简称PIA）是一种非常直观和有效的数据拟合方法,因其算法简单且具有直观的几何意义等诸多优良性质,PIA已成功应用于曲线曲面降阶逼近、等距曲线设计以及自适应数据拟合等相关领域中。然而,经典PIA算法要求控制顶点的个数与待拟合的数据点个数保持相等,并不适宜于大规模数据拟合中。最小二乘渐进迭代逼近（Least Square PIA,简称LSPIA）是在PIA基础上进行改进得到的一种具有明显几何意义、鲁棒且有效的大规模数据拟合方法,其控制点数可小于待拟合数据点数。针对经典LSPIA收敛速度加速的问题,基于Newton迭代法,本文提出曲线曲面的三类最小二乘渐进迭代逼近格式。首先构造以控制顶点为变量的多元函数,其Hessian矩阵为正定矩阵,多元函数存在极小值,且其取得极小值时所对应的控制顶点与LSPIA的收敛结果一致。随后,运用Newton迭代法求解多元函数的极小值问题,得到初始迭代格式。基于初始迭代格式,本文分别考虑Hessian矩阵和控制顶点的调整向量从而构造三类新型的LSPIA迭代格式:（1）从Hessian矩阵角度出发,基于其奇异值分解构造NLSPIA的迭代格式;（2）基于Hessian矩阵,运用对角放缩法在选定的放缩条件下构造其对角逼近矩阵,从而得到DNLSPIA的迭代格式;（3）考虑控制顶点的调整向量,其等价于求解以Hessian矩阵为系数矩阵的方程组,先运用对角补偿约化算法简化Hessian矩阵,然后通过共轭梯度法求解简化后调整向量的近似解得到INLSPIA迭代格式。本文同时还给出三种迭代格式收敛性的理论证明。通过数值实例验证了文中方法的有效性和可行性,通过实验对比分析,表明在相同条件下,NLSPIA、DNLSPIA和INLSPIA的收敛速度与计算时间都优于经典LSPIA。
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