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设S是自然数的子集,A为一给定的实数集.若对任意的x,y∈S有y/x()A,则称S为A-quotient—free集.设(ρ)(A)=sups(δ)(S),(ρ)(A)=sups(δ)(S),其中supremum取遍所有的A—quotient-free集S,(δ)(S),(δ)(S)分别是S的上、下渐近密度.ρ(A)=supsδ(S),supremum取遍所有的使得δ(S)存在的A—quotient-free集S.
本文中主要讨论了A为自然数的子集时(ρ)(A),ρ(A),ρ(A)的性质,主要的结论如下:
设A={a1,a2,…ar),11.
(2)若A中元素ai两两互素，则其中f(t)=f(A,t)指{m1,m2,…,mt}中的A—quotient-free子集的基数的最大值,且在任何情况下f(1)=f(2)=1,m1=1,m2=al.
(3)存在无穷多个集合 A,使得(ρ)(A)>ρ(A).
(4)若M’()M,M为A-quotient-free集.