基于LOI/LMI的时滞系统时滞相关稳定性研究

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时滞现象普遍存在于能源、物质、信息的传输过程中,在自然和工程系统中均不可避免。时滞的存在通常会导致系统性能下降,甚至直接导致系统不稳定。因此对于时滞系统的稳定性研究引起了国内外很多学者的关注。在近二十年的时间里,Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函构造技术的改进和线性矩阵不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)方法成为了时滞系统分析研究的主流方法。随着平方和方法的发展以及最近MATLAB的PIE工具箱的提出,基于线性算子不等式(Linear Operator Inequality, LOI)的分析方法为时滞系统稳定性研究提供了新的思路。本文将分别基于线性矩阵不等式和线性算子不等式技术,围绕线性、非线性时滞系统的稳定性问题展开研究。主要工作如下:
  (1)研究了连续线性多时滞系统的稳定性问题。考虑基础状态的概念,对连续线性多时滞系统常见的时滞常微分方程表达式进行了重构,得到了其基于基础状态的常微分-偏微分表达式,并将其写成相应的分布式参数系统,通过构建基于线性偏积分算子的完全型L-K泛函,得到了基于LOI的保守性较小的时滞相关稳定性判据。所得判据通过MATLAB的PIE工具箱求解。数值算例验证了所得的稳定性判据的正确性及有效性。
  (2)研究了考虑传感器噪声的连续线性多时滞系统的H¥观测器设计问题。所设计的偏微分方程形式的观测器可以同时修正对系统当前及历史状态的观测值。构建线性偏积分算子形式的完全型L-K泛函,提出了基于LOI的时滞相关观测器设计方法,给出了观测器输出误差对外部干扰的鲁棒H¥性能指标下的观测器增益矩阵的确定方法。所得判据通过MATLAB的PIE工具箱求解得到了观测器输出误差对外部干扰的鲁棒H¥增益。数值仿真显示,所得的结果十分接近于用Padé工具求得到的H¥范数界,最高可精确达到其小数点后四位。
  (3)研究了离散时滞系统的稳定性分析问题。提出了保守性较小的求和不等式放缩方法,放松了Wirtinger求和不等式放缩约束条件。基于直接构建型L-K泛函,结合新型求和不等式放缩方法,得到了基于LMI的离散线性时滞系统和离散递归神经网络时滞系统的时滞相关稳定性判据。所得判据通过MATLAB的LMI工具箱求解。数值算例说明了所得稳定性判据具有较小的保守性。
  (4)研究了基于模糊采样控制的T-S模糊时滞系统的稳定性分析问题。构建基于系统当前及历史状态的反馈控制器。基于环函数的概念,构造双边环函数,通过分析该双边环函数与L-K泛函的和的导数情况来判断系统的稳定性问题,放松了对L-K泛函在整个时间域上单调递减的限制条件,结合改进的积分不等式技术,得到了基于LMI的时滞相关控制策略及稳定性判据。所得判据通过MATLAB的LMI工具箱求解。数值算例说明了所得判据具有较小的保守性,验证了所设计控制器的有效性和优越性。
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