Banach空间的凸性研究是Banach空间几何理论的重要研究内容之一,Banach空间几何理论的研究就是从Banach空间单位球的凸性开始的,但是对于一些凸性的某些性质的研究还不是很完善,因此对Banach空间凸性的进一步研究有重要的意义。Banach空间的各种k凸性有一个共同的特点,即以Banach空间的单位球作为研究对象。本文突破了单位球的束缚,把Banach空间的凸性理论推广到内部不空的凸集上。给出了k严格凸集,k一致凸集的定义,得到k严格凸集、k一致凸集、紧中点局部一致凸空间以及k一致凸空间的一些好的性质。Banach空间几何理论是泛函分析的重要部分,不但推动了泛函分析的发展,而且还影响非线性规划,最佳逼近等优化问题。众所周知,凸优化的优良特性能更好的解决优化问题,因此将Banach空间几何理论应用在凸优化中,对于一个具体的非线性规划问题,经过一些抽象处理总可以化为凸集约束的优化问题,利用距离函数,采用几何方法处理问题,然后得到具体的优化条件。