图像分割是图像分析与计算机视觉中一个基本且重要的课题。图像分割的目标是把图像区域分成若干互不相交的子区域，在每个子区域上图像的某种性质呈现一致性。偏微分方程方法已广泛应用于图像分割领域，其基本思想是：水平集函数在偏微分方程（带初始条件和边界条件）控制下进行演化，偏微分方程解的零水平集给出目标的边界（分割结果）。如果水平集函数的演化偏微分方程是通过能量泛函的最小化获得的，那么称这种方法为变分水平集方法。本文对偏微分方程图像分割进行了系统的研究，主要工作有：1.提出一种求解Mumford-Shah分割模型的符号水平集方法Mumford-Shah模型是一个经典的变分分割模型，是许多现有图像分割模型的基础，但它很难直接进行数值求解。Chan和Vese首次采用传统水平集方法对该模型进行求解，提出了著名的Chan-Vese模型，并引发了大量后续研究。然而，用传统水平集方法求解该模型，主要存在如下不足：1)演化偏微分方程要出现广义函数（Dirac函数）；2)重新初始化需要求解另外一个偏微分方程；3)数值计算需要采用复杂的半隐式差分格式。针对这些问题，本文提出符号水平集方法，并用于求解Mumford-Shah模型，完全避免了传统水平集方法产生的上述问题。数值实验显示，与Chan-Vese模型比较，本文模型（符号水平集方法求解Mumford-Shah模型导出的模型）有更高的计算效率，而且对轮廓初始化有更强的鲁棒性。2.提出了求解一类变分水平集模型的L~2-Sobolev混合梯度方法在图像分割的变分水平集模型中，图像分割是通过能量泛函的极小化来实现的。这个能量泛函通常是由内能量泛函和外能量泛函组成的，内能量保证水平集函数（或演化曲线）的正则性，外能量的作用是驱使演化曲线（零水平集）向目标边缘移动，并使演化曲线停留在目标边缘上。偏微分方程分割方法通常是采用最速下降法（梯度下降法），把总能量泛函的极小化问题转化为一个抛物型偏微分方程，并用有限差分方法进行数值求解。在图像分割中，通常采用L~2内积计算整个能量泛函的梯度（L~2梯度）。Renka等学者研究表明，计算总能量泛函梯度时，采用Sobolev梯度比L~2梯度更有效率。但是，我们的研究显示，对于内能量是长度泛函的变分水平集模型（如著名的Chan-Vese模型），计算整个能量泛函的Sobolev梯度并没有显示出更高的计算效率。针对这个问题，本文提出L~2-Sobolev混合梯度方法，即对内能量采用Sobolev梯度，外能量仍用L~2梯度，并以Chan-Vese模型为实验模型验证了这种混合梯度方法有更高的计算效率。3.提出了一个能有效分割灰度不均图像的变分水平集模型灰度不均（Intensity Inhomogeneity）在真实图像中是广泛存在的，特别是在医学图像（如X光图像，MR（核磁共振）图像，CT图像）中。如何有效分割这类图像，一直是偏微分方程图像分割领域的一个热门课题。目前已提出了大量的水平集分割模型，RSF模型(IEEE Transactions on Image Processing,2008)及LIF模型(Pattern Recognition,2010)是其中的两个典型代表。RSF和LIF模型都是基于局部区域信息的模型，尽管能够较好地解决灰度不均图像的分割问题，但对初始轮廓的选择十分敏感（分割结果依赖于初始轮廓的选择）。本文提出了结合全局和局部图像信息的变分水平集模型，它同时利用了图像的局部和全局信息，既能有效处理灰度不均图像，又不出现初始轮廓的选择问题（水平集函数可初始化为零函数）。4.提出了一个基于平均曲率运动的偏微分方程分割模型现有的基于平均曲率运动的偏微分方程分割模型都是基于边缘的，需要利用图像梯度定义的外力吸引零水平集（演化曲线）向目标边缘移动，并最终停留在目标边缘上。因此，在提取模糊边界或离散边界（感知边界）时很难获得理想结果，并且对初始轮廓的选择和噪声十分敏感。针对这个问题，本文提出一个新的基于平均曲率运动的偏微分方程分割模型。该模型的主要优点有：1）仅仅是基于区域的，不需要图像梯度作为停止演化的条件，从而克服了现有边缘模型的某些不足；2）所提出的模型可以免于人工初始曲线选择；3）允许在算法中设置停止条件。此外，在数值求解偏微分方程方面，现有模型采用迎风（upwind）差分方案，本文采用了半隐式加性算子分离(AOS)方法。