基于修正并行SPH方法时间整数阶/分数阶非线性薛定谔方程数值模拟研究

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非线性薛定谔方程(NLSE)作为非线性物理学中最为重要的非线性模型之一,已被广泛应用于非线性光学,等离子体物理,凝聚态物理等领域,然而其在实际计算模拟过程中,由于复杂非线性项的存在,使得获得其解析理论解难度很大,此时,对于时间分数阶非线性薛定谔方程(TF-NLSE)的理论解将更难用解析手段得到。于是,近些年来关于NLSE或TF-NLSE的数值研究受到许多学者的广泛关注,然而基于网格类数值方法对无规则节点分布或复杂无规则区域问题实现时存在诸多困难,因此,作为一种完全不依赖于网格的光滑粒子流体动力学(SPH)方法在许多涉及偏微分方程数值求解领域中得到了广泛关注。目前,将SPH或改进SPH方法拓展应用于高效求解NLSE或TF-NLSE问题还鲜有研究。基于上述分析,本文首先将基于Taylor展开的修正SPH方法拓展应用到一阶空间导数的求解,其次对时间导数项采用高阶分裂格式,再次引入MPI并行计算技术以提高计算效率,给出了一种能够稳定高效求解高维非线性薛定谔方程的高阶分裂修正并行SPH(HSS-CPSPH)算法;最后,将上述修正SPH方法与时间分数阶有限差分(FDM)格式相结合,并考虑SPH法容易实现局部加密的纯无网格优势,给出一种适用于复杂非规则区域时间TF-NLSE的基于局部加密的修正SPH方法(LRCSPH-FDM)。本文主要工作如下:(1)将不含核导数的修正SPH算法拓展应用到非线性薛定谔方程中空间导数的求解,结合高阶分裂格式,引入MPI并行技术,得到了一种能够求解第一类或周期边界的高阶分裂修正并行SPH算法;并通过有解析解的算例,对该方法模拟方程的误差收敛性进行了分析。(2)将上述方法应用于无解析解算例模拟预测时,对高维的方程采用了并行技术提高计算效率,并对计算效率进行了分析,说明了增加CPU数量的并行计算能够明显缩短计算时间;同时与FDM方法结果作对比,表明提出的方法能高效准确地预测孤立波非线性传播过程以及出现的奇异性现象。(3)将修正SPH方法与基于Caputo时间分数阶导数的FDM离散格式进行耦合,对时间分数阶非线性薛定谔方程(TF-NLSE)进行离散求解,同时,考虑SPH方法不受网格限制优点,为提高精度和不过多增加计算量,提出一种基于局部加密修正SPH-FDM方法(LRCSPH-FDM)。通过对含有解析解算例的求解,对局部加密提高精度优点进行了验证,分析了提出方法误差收敛性。随后又对复杂无规则区域上TF-NLSE问题进行了模拟分析,展示了纯无网格方法的优势。(4)运用上述提出的LRCSPH-FDM对无解析解的问题进行了模拟预测,其结果与FDM结果较为吻合,说明了该方法在捕捉非线性方程量子力学特性上的优越性。
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