U(1)临界性是相变研究的经典载体,在若干典型多体现象中扮演重要角色。这些多体现象不仅包括涡旋的结合-拆对相变、超流相和自旋液态,也包括粒子物理的相对论规范场和导致解禁闭临界性的演生连续对称性。然而,关于U(1)临界性的一些基本问题尚不存在明确的答案:在(2+1)维情形,太空实验得到的部分临界指数与数值模拟的结果不吻合;在(3+1)维情形,系统处于上临界维度,平均场理论的结论受到对数修正的影响,对数修正和平均场机制共存的精确图像仍是一个开放问题。本文采用高效蒙特卡洛方法研究典型格点模型的U(1)临界性。在绪论中,我们首先介绍两个格点模型,即O(n)模型和Bose-Hubbard模型,前者的特例(n=2)等效于U(1)模型,后者则是U(1)量子临界性的典型载体。我们还将概述相变与临界行为及其有限尺寸标度,并简述本文采用的蒙特卡洛方法。在随后的章节中,我们将阐述本文的主要研究工作,包括:(1)我们针对(2+1)维U(1)普适类中的典型模型开展蠕虫型蒙特卡洛模拟,这些模型包括定向流表象中的经典三维XY模型及其Villain形式,以及虚时世界线表象中具有单位粒子密度的二维量子Bo se-Hubbard模型。借助于位形在回路上的拓扑结构,我们对超流密度ρs和无量纲的绕圈概率R进行采样。通过ρs和R的有限尺寸标度分析,我们获得超越现有最高精度的相变点估值,以及与当前最高精度可比的临界指数估值。这些独立的数值结果将为研究(2+1)维U(1)普适类的经典相变和量子相变提供基准数据,并为方兴未艾的以共形场理论为基础的数值计算提供参考。(2)为探索(3+1)维U(1)临界系统中有限尺寸标度的对数修正,我们对周期性四维超立方晶格上的O(n)矢量模型开展数值模拟。我们发现两点关联函数g(r,L)(L是线性尺寸)表现出新奇的两尺度标度行为:在短程区间,关联函数遵循平均场标度行为r-2;在长程区间,关联函数展现一个平台,其高度按L-2(lnL)p(其中p为对数修正指数)的形式衰减。该结果被磁化率和非零傅里叶模磁涨落的标度行为进一步佐证,同时与两点关联g(L/2,L)的有限尺寸标度吻合。由此可推断,纵向涨落的Higgs共振宽度/质量比值在(3+1)维O(n)临界点附近不展现理论预测的对数衰减行为。我们的结论与近期的实验观测和量子蒙特卡洛模拟吻合。(3)我们研究(3+1)维U(1)临界系统中普适动力学的有限尺寸标度和有限频率标度。首先,我们分别对四维超晶格上的Villain模型和简立方晶格上的Bose-Hubbard模型开展蠕虫型蒙特卡洛模拟,测量相关模型的超流密度和绕圈概率。我们给出两组分有限尺寸标度,由此分析超流密度和绕圈概率的有限尺寸蒙特卡洛数据,并精确测定临界点。在此基础上,我们进一步测量以虚频为变量的临界电导率σ(iωn)(n是频率指标),相关数值结果为理论预测的虚频电导标度σ(iωn)=p(T)/nΔ-1(其中Δ是空间标度维度,p(T)是温度的函数)提供有力证据。