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[摘 要]数学知识的本质一般是指那些隐藏着的和决定数学现象的基本概念、一般原理、思想方法等，教师的教学若能突出知识的本质，那么教学就有了深度和广度。
[关键词]枚举 问题 操作比较 开放问答 多向训练
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）32-020
数学知识的本质一般是指那些隐藏着的和决定数学现象的基本概念、一般原理、思想方法等，它们往往具有基础性、普遍性。因此，数学课堂中，教师若能突出数学知识的本质，教学就有了深度和广度。下面，我以苏教版小学数学五年级上册“枚举”一课教学为例展开探究。
片断一：理解概念
例题：王大叔用22根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？
师：根据题中的条件和问题，你能想到什么？
生1：周长22米，可以围成大小不同的长方形。
生2：周长22米是不变的，可以推想长方形的长与宽的和一定，即长 宽=11（米）。
师：你打算怎样解决问题？
生3：用22根小棒摆（围）出不同的长方形。
生4：摆出长方形后记录长与宽是多少，先求出长与宽的和，即长 宽=11（米），再计算出面积各是多少。
……
【设计意图：俗话说：“书读百遍，其义自见。”当学生真正读懂问题与以往常规问题的不同或特殊之处，并在已有知识体系中无法找到解决问题的方法时，一一列举策略便自然成为学生解决问题的内在需求。】
片断二：掌握方法
1.列举可能的解
师：到底有多少种不同的围法？接下来，我们运用以前学过的策略来研究一下，可以用小棒围一围，也可以在练习纸上画一画，然后把不同的情况整理到表格里。（在学生探究新知后，师组织学生分析与交流）
师：你是怎么列举的？列举时要注意什么？
……
【设计意图：这个环节，使学生初步明白虽然路径、角度不一样，如宽的米数从小到大有序列举、长的米数从大到小有序列举等，但都做到了有顺序、有条理的列举，领悟到列举方法的多样性和可选择性。】
师：这些方法，你觉得哪些有优点，哪些有缺点？请你指出来并修改。
生1（出示下表）：有序。
生2（出示下表）：有顺序，但有遗漏。
生3（出示下表）：无顺序，眼花缭乱。
……
【设计意图：学生在这一组有结构的材料对比中辨析、优化与提升，进一步强化了列举有序性的意义建构，逐步领悟到列举的关键是做到有序，明白只有做到有序，才能让列举不重复、不遗漏。】
2.验证出正确的解
师（出示下表）：观察格表，长方形的面积分别是多少？你有没有发现什么规律？
……
师生（小结）：因为长和宽不一样，所以面积就不一样。长方形的长和宽相差越大，面积就越小；长和宽相差越小，面积就越大。
师改例题如下：“王大叔用24根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？”（如果是36根木条围长方形花圃呢？）
师：能否把摆小棒、画图等方法放在头脑里想象，经过头脑整理后再填表列举？请同学们试一试。
……
【设计意图：从摆小棒、画图等列举到填表列举，动手的成分少了，动脑的成分多了。这个环节的教学要处理好从直观操作到填表思考的过渡，从无序列举到有序列举的改进，从“有形”整理到“无形”整理的提升，进而提高学生的数学思考水平。】
片断三：学会运用
练习A：有一个音乐钟，每隔一段相等的时间就会发出铃声。已经知道上午9：00、9：40、10：20和11：00会发出铃声，那么下面哪些时间也会发出铃声？
13：00 14：40 15：40 16：00
练习B：你准备怎样解决这些问题？说说你的想法。
（1）小芳家栽了3行桃树、8行杏树和4行梨树。桃树每行7棵，杏树每行6棵，梨树每行5棵，桃树和梨树一共有多少棵？
（2）梅山小学有一个长方形花圃，原来长8米，在修建校园时，把花圃的长增加3米，这样花圃的面积就增加18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？
（3）城西广场是1路公共汽车和2路公共汽车的起始站。1路公共汽车6时20分开始发车，以后每4分钟发一辆车。2路公共汽车6时30分开始发车，以后每5分钟发一辆车。这两路公共汽车几时几分第一次同时发车？
（4）四年级同学准备制作160个灯笼庆祝国庆。已经做了76个，剩下的分给28个同学去做，平均每人要做多少个？
……
课后思考：
1.在开放问答中，凸显知识本质
所谓枚举，就是一一列举，指将问题所有可能的答案列举出来，然后选择合适的答案。如上述教学中，教师提问：“根据题中的条件和问题，你能想到什么？”这是一个开放性很强的“大问题”，给学生的独立思考与主动探究留下充足的探究空间。生1“周长22米，可以围成大小不同的长方形”，让我们明确枚举的对象；生2“周长22米是不变的，可以推想长方形的长与宽的和一定，即长 宽=（11）米”，让我们明确枚举的范围；生4“摆出长方形后记录长与宽是多少，先求出长与宽的和，即长 宽=11（米），再计算出面积各是多少”，让我们明确枚举的判定条件，从而凸显了枚举这一概念的数学本质。
2.在操作比较中，掌握学习方法
在确定枚举的对象、范围和判定条件之后，就要一一列举可能的解，并验证是否是问题正确的解。为此，我设计了两个教学环节，创设了四个问题情境，引导学生经历科学探究的一般过程。特别是最后一个问题的设计：“王大叔用24根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？”“如果是用36根木条围长方形花圃呢？”通过问题，使学生从中感悟到：摆小棒、画图等列举方法在解决实际问题中有很多局限性，必须突破这些条条框框的“束缚”。课堂教学进行到此，学生优化学习方法的欲望被激发了，提升了数学思考的水平。
3.在多向训练中，学会灵活运用
列举作为一种策略，在解决实际问题时，可以从两个维度设计训练：一是在学生初步学会表格列举后，引导他们学习一些其他的列举方法，使列举更加方便、有效；二是可以设计题组练习，让学生灵活选择策略解决问题。学生在四年级时已经学过列表和画图的策略，现在又学习了一一列举的策略，我将这三部分习题混合选编，让学生快速判断用什么策略来解决，并说明选择的理由。如果学生能够主动、快速地辨析出问题的特点，并选择合适的策略（方法）解决问题，才能说学生具有策略意识，策略的学习才真正达到目的。
（责编 蓝 天）
[关键词]枚举 问题 操作比较 开放问答 多向训练
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）32-020
数学知识的本质一般是指那些隐藏着的和决定数学现象的基本概念、一般原理、思想方法等，它们往往具有基础性、普遍性。因此，数学课堂中，教师若能突出数学知识的本质，教学就有了深度和广度。下面，我以苏教版小学数学五年级上册“枚举”一课教学为例展开探究。
片断一：理解概念
例题：王大叔用22根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？
师：根据题中的条件和问题，你能想到什么？
生1：周长22米，可以围成大小不同的长方形。
生2：周长22米是不变的，可以推想长方形的长与宽的和一定，即长 宽=11（米）。
师：你打算怎样解决问题？
生3：用22根小棒摆（围）出不同的长方形。
生4：摆出长方形后记录长与宽是多少，先求出长与宽的和，即长 宽=11（米），再计算出面积各是多少。
……
【设计意图：俗话说：“书读百遍，其义自见。”当学生真正读懂问题与以往常规问题的不同或特殊之处，并在已有知识体系中无法找到解决问题的方法时，一一列举策略便自然成为学生解决问题的内在需求。】
片断二：掌握方法
1.列举可能的解
师：到底有多少种不同的围法？接下来，我们运用以前学过的策略来研究一下，可以用小棒围一围，也可以在练习纸上画一画，然后把不同的情况整理到表格里。（在学生探究新知后，师组织学生分析与交流）
师：你是怎么列举的？列举时要注意什么？
……
【设计意图：这个环节，使学生初步明白虽然路径、角度不一样，如宽的米数从小到大有序列举、长的米数从大到小有序列举等，但都做到了有顺序、有条理的列举，领悟到列举方法的多样性和可选择性。】
师：这些方法，你觉得哪些有优点，哪些有缺点？请你指出来并修改。
生1（出示下表）：有序。
生2（出示下表）：有顺序，但有遗漏。
生3（出示下表）：无顺序，眼花缭乱。
……
【设计意图：学生在这一组有结构的材料对比中辨析、优化与提升，进一步强化了列举有序性的意义建构，逐步领悟到列举的关键是做到有序，明白只有做到有序，才能让列举不重复、不遗漏。】
2.验证出正确的解
师（出示下表）：观察格表，长方形的面积分别是多少？你有没有发现什么规律？
……
师生（小结）：因为长和宽不一样，所以面积就不一样。长方形的长和宽相差越大，面积就越小；长和宽相差越小，面积就越大。
师改例题如下：“王大叔用24根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？”（如果是36根木条围长方形花圃呢？）
师：能否把摆小棒、画图等方法放在头脑里想象，经过头脑整理后再填表列举？请同学们试一试。
……
【设计意图：从摆小棒、画图等列举到填表列举，动手的成分少了，动脑的成分多了。这个环节的教学要处理好从直观操作到填表思考的过渡，从无序列举到有序列举的改进，从“有形”整理到“无形”整理的提升，进而提高学生的数学思考水平。】
片断三：学会运用
练习A：有一个音乐钟，每隔一段相等的时间就会发出铃声。已经知道上午9：00、9：40、10：20和11：00会发出铃声，那么下面哪些时间也会发出铃声？
13：00 14：40 15：40 16：00
练习B：你准备怎样解决这些问题？说说你的想法。
（1）小芳家栽了3行桃树、8行杏树和4行梨树。桃树每行7棵，杏树每行6棵，梨树每行5棵，桃树和梨树一共有多少棵？
（2）梅山小学有一个长方形花圃，原来长8米，在修建校园时，把花圃的长增加3米，这样花圃的面积就增加18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？
（3）城西广场是1路公共汽车和2路公共汽车的起始站。1路公共汽车6时20分开始发车，以后每4分钟发一辆车。2路公共汽车6时30分开始发车，以后每5分钟发一辆车。这两路公共汽车几时几分第一次同时发车？
（4）四年级同学准备制作160个灯笼庆祝国庆。已经做了76个，剩下的分给28个同学去做，平均每人要做多少个？
……
课后思考：
1.在开放问答中，凸显知识本质
所谓枚举，就是一一列举，指将问题所有可能的答案列举出来，然后选择合适的答案。如上述教学中，教师提问：“根据题中的条件和问题，你能想到什么？”这是一个开放性很强的“大问题”，给学生的独立思考与主动探究留下充足的探究空间。生1“周长22米，可以围成大小不同的长方形”，让我们明确枚举的对象；生2“周长22米是不变的，可以推想长方形的长与宽的和一定，即长 宽=（11）米”，让我们明确枚举的范围；生4“摆出长方形后记录长与宽是多少，先求出长与宽的和，即长 宽=11（米），再计算出面积各是多少”，让我们明确枚举的判定条件，从而凸显了枚举这一概念的数学本质。
2.在操作比较中，掌握学习方法
在确定枚举的对象、范围和判定条件之后，就要一一列举可能的解，并验证是否是问题正确的解。为此，我设计了两个教学环节，创设了四个问题情境，引导学生经历科学探究的一般过程。特别是最后一个问题的设计：“王大叔用24根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？”“如果是用36根木条围长方形花圃呢？”通过问题，使学生从中感悟到：摆小棒、画图等列举方法在解决实际问题中有很多局限性，必须突破这些条条框框的“束缚”。课堂教学进行到此，学生优化学习方法的欲望被激发了，提升了数学思考的水平。
3.在多向训练中，学会灵活运用
列举作为一种策略，在解决实际问题时，可以从两个维度设计训练：一是在学生初步学会表格列举后，引导他们学习一些其他的列举方法，使列举更加方便、有效；二是可以设计题组练习，让学生灵活选择策略解决问题。学生在四年级时已经学过列表和画图的策略，现在又学习了一一列举的策略，我将这三部分习题混合选编，让学生快速判断用什么策略来解决，并说明选择的理由。如果学生能够主动、快速地辨析出问题的特点，并选择合适的策略（方法）解决问题，才能说学生具有策略意识，策略的学习才真正达到目的。
（责编 蓝 天）