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【摘要】数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.本文探讨预设式教学在数学课堂教学中的应用，在数学课堂教学中，通过预设学生感兴趣富有挑战性的问题，可以吸引学生“眼球”，调动学生课堂的积极性，启发学生的思维，从而提高教学质量.
【关键词】预设式教学；新课标；创新意识
一、对预设课堂的理解
预设(presupposition)发轫于哲学和逻辑学.德国哲学家Frege在1892年发表的《论涵义与指称》论文里最早提出了“预设”的概念.他认为，“如果人们陈述某些东西，当然总要有一个预设”.
所谓“预设”，简而言之就是“预先设定、计划”.预设是课堂教学的基本要求.它是教师根据教学目标、学生的兴趣、学习需要和现有的经验，以各种形式有目的、有计划地设计教学活动.即教师必须在课前对教学活动有一个清晰、理性的思考和安排.数学教学中的课堂预设，就是要明确以下五个问题：这节课教什么？要求学生达到怎样的目标？教师提供什么材料？教师怎么教？学生怎么学？在每一个环节里，如何提问？预计学生会怎样回答？
传统的预设式教学程序化、模式化，使师生的生命力得不到充分发挥.因此众多学者对数学课堂的教学方式进行了研究、探讨.本课题就结合具体的课堂教学实例，对如何给学生创设“预设空间”这一问题进行探讨.
二、通过预设空间，促进数学课堂有效进行
心理学原理告诉我们：（1）“满堂灌”的教法极易使学生产生生理和心理的疲劳，容易引起学生的分心现象，而“预设空间”的课，学生可以从中得到积极的休息，由听转为思.（2）从记忆原理看，“满堂灌”的教法不易使学生记住，而“预设空间”的课，很容易使学生记忆，这是因为后者受到前摄抑制和后摄抑制较少之故.（3）从创造和想象原理来说，“预设空间”的课，容易使学生荡起想象的浪花，激起好奇的涟漪.
在数学课堂教学中，巧妙地运用“预设空间”艺术，设置问题解决的环境，让学生通过自主以及合作研究的途径加以解决，促使学生的主观能动性得到充分发挥，提高学生的学习效率.
传统课堂教学把每节课的内容任务和进程都具体地甚至按时间顺序分解在教案里.也就是像计算机输出规定程序一样，完全是教案的展开过程.这种教学使课堂变得机械、沉闷、程式化，缺乏活力.随着新课程改革的深入，教学设计从着重于教师的“教”到学生的“学”，更多地为学生的学而预设，要求的是“以学生为本”“以学为教”的预设.
为此，在新课标下教师必须重新认识课堂预设.从以学生为主体出发，课前从多维度进行清晰、理性的思考和安排，使预设具有针对性、开放性和灵活性.从而使教师的教有效地促进学生的学.
1.巧妙预设空间，培养思维的深刻性
思维的深刻性就是思维的深度，是发现和辨别事物本质的能力.思维深刻性主要表现在理解能力强、能抓住概念、定理的核心及知识内在联系，准确地掌握概念的内涵及使用条件和范围.因此，疏通知识间的内在联系，是培养思维深刻性的主要手段.在概念教学中，教师一般都是开门见山，直接给出定义，然后给出若干注意事项.虽然讲得很细、很深，但由于讲得过多，很少留有时间给学生思考、讨论，抑制了学生思考的积极性.有时教师滔滔不绝地讲，学生却无动于衷，效果反而不佳.若能巧妙利用“预设空间”艺术，给学生留有思考余地，让他们主动去研究、探索，掌握概念印象更深刻.
例如，在椭圆定义教学中，可以通过实验演示，“到两定点间距离之和大于两定点间距离、等于两定点间距离、小于两定点间距离”时，其轨迹分别如何？然后留出几分钟时间由学生思考、总结，从而得出椭圆的定义，同时也加深了对概念内涵的深刻理解.
又如，在学习“相似三角形”一节中，教师出示两幅形状相同、大小不等的中国地图，让学生观察并提出问题：“两幅中国地图有什么关系？形状又有什么特点？”在两幅大小不等的地图上分别找出北京、武汉、昆明三座城市的位置，并连接三座城市间的线段，得到两个三角形.接着提问：“两个三角形有什么关系？形状有何特点？”待学生猜想、讨论一会，引入课题——相似三角形.从而巧妙地借助两幅大小不等的地图上三座城市间的连线段建立相似三角形的模型，提出问题让学生猜想、分析、讨论，使得知识衔接自然，并为下一步探索相似三角形的概念埋下伏笔.这种让学生通过类比的研究方法，通过实验启发得到新的定义，从而避免了教师一讲到底的“满堂灌”.通过适时启发、点拨、总结，既发挥教师的主导作用，又发挥了学生的主体作用，同时培养了学生独立思考的能力.
2.巧妙预设空间，培养思维的直觉性
“凡事预则立，不预则废.”预见意识对探索成功率的提高是大有裨益的.解题过程中我们对于解题策略、思路、方向和手段都应该作出正确的判断和抉择，否则将误入歧途.因此在例题教学中，先不急于分析解题思路，而恰当地留有空间，让学生仔细审题，联系相关知识，对比权衡，如未知数、自变量、参数的确定，辅助元素的设置，坐标系、点的坐标的选取，分类讨论的时机掌握，及讨论标准层次的确定等，它们对于解题成败、难易、繁简会产生怎样的影响，在此基础上作出正确的估计和判断.
例1 已知两点M1，54，N-4，-54，给出下列曲线方程：(1)4x+2y-1=0；(2)x2+y2=3；(3)x22+y2=1；(4)x22-y2=1.在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的曲线方程是哪几个？
通过学生思考，凭直觉可以预见到解决本题的关键：将已知条件等价转化为是否存在线段的垂直平分线与所给曲线有交点.
例2 已知|x-2|+|y+4|=0，求x，y的值.
通过学生思考，凭直觉可以预见到解决本题的关键：求两个非负数的和为0，由非负数的性质可以知道只有这两个非负数都是0的情况下才可以使它们的和为0，所以x=2，y=-4.
3.巧妙预设空间，培养思维的批判性
思维的批判性表现为善于独立思考，善于提出问题，精细地检查思维过程，能及时发现错误、纠正错误.因此在教学中，恰当地留有空白，让学生有充分的时间去不断总结解题经验和教训，进行回顾和反思，自觉调控思维过程，自我评价解题思路和方法，寻求最佳答案.从而在挫折中优化解题思路，在辨析中增强免疫力，从而提高思维的批判性.
例3 已知双曲线方程3x2-y2=3，求出以下列点分别为中点的弦所在直线方程：(1)A(2，1)；(2)B(1，1).
师生共同分析：本题关键求出弦所在直线的斜率.如何求斜率？让学生思考，多数学生略作思考，有如下两种方法：
（1）设直线斜率为k，写出直线方程代入双曲线方程，利用中点坐标公式可以求得斜率.
（2）点差法：设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有3x21-y21=3，3x22-y22=3，两式相减，得3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.
所以k=y1-y2x1-x2=3(x1+x2)y1+y2=6，进而得到直线MN方程6x-y-11=0.
同理，可求得过点B的直线方程3x-y-2=0.
此时提醒学生检验，发现以B为中点的直线与双曲线并无交点，即以B为中点的弦不存在，引导学生反思：
（1）原因何在？
（2）此直线虽然不是以B为中点的弦所在直线，但是否具有某种性质？
（3）分析点A，B的位置，判断：当点P在什么位置时存在以B为中点的弦？
例4 △ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE的长是多少?
由于同学们对利用平行线构造相似三角形的方法比较熟悉，因此很容易想到下面的解法：
图 1
如图1，过D作DE∥BC，交AB于E，则△ADE∽△ACB，所以ADAC=AEAB，即26=AE8，解得AE=83.
此时提醒学生，由于题目中没有提到具体的对应关系，这里的“原三角形”就是让自己找出对应点，实际上符合条件的点有两个（E和F），引导学生反思.
以上两道例题，教师不急于解决这些问题，而让学生去探索，既激发了他们的求知欲望，又提高了辨别能力，从而完善认知结构.
4.巧妙预设空间，培养思维的广阔性
思维的广阔性表现为“为什么是这样”“还会怎样”的心理活动过程.对知识的学习，表现为不满足于知其然，执意追求知其所以然.而创造性思维是最高层次的思维活动，是在自由想象的基础上对头脑中已有知识、经验进行新的组合的结果.引导、诱发、鼓励学生在强烈的创新意识驱动下不断实现自我突破，敢于“标新立异”，敢于“离经叛道”.
例5 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-p2.
学生证完该题后，与学生一起对其进行变式研究，引导学生变换出一系列命题：
（1）变更命题的条件或结论
变式1 过抛物线y2=2px的焦点作弦P1P2，设两个交点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，证明：x1x2=p24.
变式2 若抛物线y2=2px的弦的两端点的坐标适合y1y2=-p2（或x1x2=p24），证弦必过抛物线的焦点.
（2）将命题的特殊条件变为一般条件
变式3 过定点A(a，0)(a>0)作直线交抛物线y2=2px于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，证明：x1x2=a2，y1y2=-2pa.
变式4 若过抛物线焦点弦的两端点P1，P2分别作对称轴的垂线，垂足分别为Q1，Q2，证明：|OF|为|OQ1|和|OQ2|的等比中项(其中F为抛物线的焦点).
(3)同时变更命题的条件和结论
变式5 抛物线的焦点弦的端点A，B在抛物线准线上的射影分别为C，D，证明：以CD为直径的圆与直线AB相切.
变式6 自抛物线的顶点引互相垂直的两条直线交抛物线于P，Q，证明：直线PQ交对称轴于定点.
这样从一个题引出一串题，帮助学生完善知识结构和认知结构，真正收到由表及里、举一反
三、触类旁通的功效.这种开放性变式，让学生直接参与到数学习题形成的过程之中，让不同程度的学生都能以探索者的姿态出现，能调动学生主动参与的积极性，引起同学们浓厚的兴趣，培养了学生思维的广阔性.
5.巧妙预设空间，培养思维的灵活性
思维的灵活性表现为能够根据问题条件，及时改变观察和思维角度，灵活地理解题意，通过类比、联想等思维活动，揭示本质联系，巧妙地实现转化，迅速地找到解题途径，确定解题方案，从而简捷解题.
图 2
例6 如图2，在△ABC的AB和AC边上分别向外作正方形ABDE和ACNM，连接CE，MB.求证：CE⊥MB且CE=MB.
分析 因为此题目具备了等边和等角的条件，我们可以通过全等三角形的证明来完成解题，但是如果我们换一个角度，用旋转的方法来证明，便能更灵活迅速地解出答案.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】预设式教学；新课标；创新意识
一、对预设课堂的理解
预设(presupposition)发轫于哲学和逻辑学.德国哲学家Frege在1892年发表的《论涵义与指称》论文里最早提出了“预设”的概念.他认为，“如果人们陈述某些东西，当然总要有一个预设”.
所谓“预设”，简而言之就是“预先设定、计划”.预设是课堂教学的基本要求.它是教师根据教学目标、学生的兴趣、学习需要和现有的经验，以各种形式有目的、有计划地设计教学活动.即教师必须在课前对教学活动有一个清晰、理性的思考和安排.数学教学中的课堂预设，就是要明确以下五个问题：这节课教什么？要求学生达到怎样的目标？教师提供什么材料？教师怎么教？学生怎么学？在每一个环节里，如何提问？预计学生会怎样回答？
传统的预设式教学程序化、模式化，使师生的生命力得不到充分发挥.因此众多学者对数学课堂的教学方式进行了研究、探讨.本课题就结合具体的课堂教学实例，对如何给学生创设“预设空间”这一问题进行探讨.
二、通过预设空间，促进数学课堂有效进行
心理学原理告诉我们：（1）“满堂灌”的教法极易使学生产生生理和心理的疲劳，容易引起学生的分心现象，而“预设空间”的课，学生可以从中得到积极的休息，由听转为思.（2）从记忆原理看，“满堂灌”的教法不易使学生记住，而“预设空间”的课，很容易使学生记忆，这是因为后者受到前摄抑制和后摄抑制较少之故.（3）从创造和想象原理来说，“预设空间”的课，容易使学生荡起想象的浪花，激起好奇的涟漪.
在数学课堂教学中，巧妙地运用“预设空间”艺术，设置问题解决的环境，让学生通过自主以及合作研究的途径加以解决，促使学生的主观能动性得到充分发挥，提高学生的学习效率.
传统课堂教学把每节课的内容任务和进程都具体地甚至按时间顺序分解在教案里.也就是像计算机输出规定程序一样，完全是教案的展开过程.这种教学使课堂变得机械、沉闷、程式化，缺乏活力.随着新课程改革的深入，教学设计从着重于教师的“教”到学生的“学”，更多地为学生的学而预设，要求的是“以学生为本”“以学为教”的预设.
为此，在新课标下教师必须重新认识课堂预设.从以学生为主体出发，课前从多维度进行清晰、理性的思考和安排，使预设具有针对性、开放性和灵活性.从而使教师的教有效地促进学生的学.
1.巧妙预设空间，培养思维的深刻性
思维的深刻性就是思维的深度，是发现和辨别事物本质的能力.思维深刻性主要表现在理解能力强、能抓住概念、定理的核心及知识内在联系，准确地掌握概念的内涵及使用条件和范围.因此，疏通知识间的内在联系，是培养思维深刻性的主要手段.在概念教学中，教师一般都是开门见山，直接给出定义，然后给出若干注意事项.虽然讲得很细、很深，但由于讲得过多，很少留有时间给学生思考、讨论，抑制了学生思考的积极性.有时教师滔滔不绝地讲，学生却无动于衷，效果反而不佳.若能巧妙利用“预设空间”艺术，给学生留有思考余地，让他们主动去研究、探索，掌握概念印象更深刻.
例如，在椭圆定义教学中，可以通过实验演示，“到两定点间距离之和大于两定点间距离、等于两定点间距离、小于两定点间距离”时，其轨迹分别如何？然后留出几分钟时间由学生思考、总结，从而得出椭圆的定义，同时也加深了对概念内涵的深刻理解.
又如，在学习“相似三角形”一节中，教师出示两幅形状相同、大小不等的中国地图，让学生观察并提出问题：“两幅中国地图有什么关系？形状又有什么特点？”在两幅大小不等的地图上分别找出北京、武汉、昆明三座城市的位置，并连接三座城市间的线段，得到两个三角形.接着提问：“两个三角形有什么关系？形状有何特点？”待学生猜想、讨论一会，引入课题——相似三角形.从而巧妙地借助两幅大小不等的地图上三座城市间的连线段建立相似三角形的模型，提出问题让学生猜想、分析、讨论，使得知识衔接自然，并为下一步探索相似三角形的概念埋下伏笔.这种让学生通过类比的研究方法，通过实验启发得到新的定义，从而避免了教师一讲到底的“满堂灌”.通过适时启发、点拨、总结，既发挥教师的主导作用，又发挥了学生的主体作用，同时培养了学生独立思考的能力.
2.巧妙预设空间，培养思维的直觉性
“凡事预则立，不预则废.”预见意识对探索成功率的提高是大有裨益的.解题过程中我们对于解题策略、思路、方向和手段都应该作出正确的判断和抉择，否则将误入歧途.因此在例题教学中，先不急于分析解题思路，而恰当地留有空间，让学生仔细审题，联系相关知识，对比权衡，如未知数、自变量、参数的确定，辅助元素的设置，坐标系、点的坐标的选取，分类讨论的时机掌握，及讨论标准层次的确定等，它们对于解题成败、难易、繁简会产生怎样的影响，在此基础上作出正确的估计和判断.
例1 已知两点M1，54，N-4，-54，给出下列曲线方程：(1)4x+2y-1=0；(2)x2+y2=3；(3)x22+y2=1；(4)x22-y2=1.在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的曲线方程是哪几个？
通过学生思考，凭直觉可以预见到解决本题的关键：将已知条件等价转化为是否存在线段的垂直平分线与所给曲线有交点.
例2 已知|x-2|+|y+4|=0，求x，y的值.
通过学生思考，凭直觉可以预见到解决本题的关键：求两个非负数的和为0，由非负数的性质可以知道只有这两个非负数都是0的情况下才可以使它们的和为0，所以x=2，y=-4.
3.巧妙预设空间，培养思维的批判性
思维的批判性表现为善于独立思考，善于提出问题，精细地检查思维过程，能及时发现错误、纠正错误.因此在教学中，恰当地留有空白，让学生有充分的时间去不断总结解题经验和教训，进行回顾和反思，自觉调控思维过程，自我评价解题思路和方法，寻求最佳答案.从而在挫折中优化解题思路，在辨析中增强免疫力，从而提高思维的批判性.
例3 已知双曲线方程3x2-y2=3，求出以下列点分别为中点的弦所在直线方程：(1)A(2，1)；(2)B(1，1).
师生共同分析：本题关键求出弦所在直线的斜率.如何求斜率？让学生思考，多数学生略作思考，有如下两种方法：
（1）设直线斜率为k，写出直线方程代入双曲线方程，利用中点坐标公式可以求得斜率.
（2）点差法：设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有3x21-y21=3，3x22-y22=3，两式相减，得3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.
所以k=y1-y2x1-x2=3(x1+x2)y1+y2=6，进而得到直线MN方程6x-y-11=0.
同理，可求得过点B的直线方程3x-y-2=0.
此时提醒学生检验，发现以B为中点的直线与双曲线并无交点，即以B为中点的弦不存在，引导学生反思：
（1）原因何在？
（2）此直线虽然不是以B为中点的弦所在直线，但是否具有某种性质？
（3）分析点A，B的位置，判断：当点P在什么位置时存在以B为中点的弦？
例4 △ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE的长是多少?
由于同学们对利用平行线构造相似三角形的方法比较熟悉，因此很容易想到下面的解法：
图 1
如图1，过D作DE∥BC，交AB于E，则△ADE∽△ACB，所以ADAC=AEAB，即26=AE8，解得AE=83.
此时提醒学生，由于题目中没有提到具体的对应关系，这里的“原三角形”就是让自己找出对应点，实际上符合条件的点有两个（E和F），引导学生反思.
以上两道例题，教师不急于解决这些问题，而让学生去探索，既激发了他们的求知欲望，又提高了辨别能力，从而完善认知结构.
4.巧妙预设空间，培养思维的广阔性
思维的广阔性表现为“为什么是这样”“还会怎样”的心理活动过程.对知识的学习，表现为不满足于知其然，执意追求知其所以然.而创造性思维是最高层次的思维活动，是在自由想象的基础上对头脑中已有知识、经验进行新的组合的结果.引导、诱发、鼓励学生在强烈的创新意识驱动下不断实现自我突破，敢于“标新立异”，敢于“离经叛道”.
例5 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-p2.
学生证完该题后，与学生一起对其进行变式研究，引导学生变换出一系列命题：
（1）变更命题的条件或结论
变式1 过抛物线y2=2px的焦点作弦P1P2，设两个交点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，证明：x1x2=p24.
变式2 若抛物线y2=2px的弦的两端点的坐标适合y1y2=-p2（或x1x2=p24），证弦必过抛物线的焦点.
（2）将命题的特殊条件变为一般条件
变式3 过定点A(a，0)(a>0)作直线交抛物线y2=2px于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，证明：x1x2=a2，y1y2=-2pa.
变式4 若过抛物线焦点弦的两端点P1，P2分别作对称轴的垂线，垂足分别为Q1，Q2，证明：|OF|为|OQ1|和|OQ2|的等比中项(其中F为抛物线的焦点).
(3)同时变更命题的条件和结论
变式5 抛物线的焦点弦的端点A，B在抛物线准线上的射影分别为C，D，证明：以CD为直径的圆与直线AB相切.
变式6 自抛物线的顶点引互相垂直的两条直线交抛物线于P，Q，证明：直线PQ交对称轴于定点.
这样从一个题引出一串题，帮助学生完善知识结构和认知结构，真正收到由表及里、举一反
三、触类旁通的功效.这种开放性变式，让学生直接参与到数学习题形成的过程之中，让不同程度的学生都能以探索者的姿态出现，能调动学生主动参与的积极性，引起同学们浓厚的兴趣，培养了学生思维的广阔性.
5.巧妙预设空间，培养思维的灵活性
思维的灵活性表现为能够根据问题条件，及时改变观察和思维角度，灵活地理解题意，通过类比、联想等思维活动，揭示本质联系，巧妙地实现转化，迅速地找到解题途径，确定解题方案，从而简捷解题.
图 2
例6 如图2，在△ABC的AB和AC边上分别向外作正方形ABDE和ACNM，连接CE，MB.求证：CE⊥MB且CE=MB.
分析 因为此题目具备了等边和等角的条件，我们可以通过全等三角形的证明来完成解题，但是如果我们换一个角度，用旋转的方法来证明，便能更灵活迅速地解出答案.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文