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二次函数的图象和性质是初高中衔接中最重要的内容之一，二次函数知识的基础在初中，但在高中有更大的发展，是高中最重要的函数模型之一.现行高中教材没有专门研究二次函数的章节，而是渗透在各个角落，同时，初高中阶段不同的学习特点和学生的心理特征也不同，因此有必要在初高中的衔接阶段先进行知识上的衔接.
本文以一节二次函数的图象应用为课题，从数学知识的切入、学习方法的渗透和学习信心的树立等几方面，探讨初高中衔接教学中，如何同时兼顾知识和能力的衔接，自主学习、自主探究的意识和能力的培养，如何帮助学生迈好由初中数学通往高中数学的脚步.
一、课堂教学过程实录
（一）课堂导入
1.课堂导言
特别强调高中数学内容的范围更宽泛和深入，对分析问题、解决问题的能力以及思维品质的要求更高，我们学习的方法也与初中阶段不太相同，更多地需要我们学会独立思考，学会归纳推理，学会触类旁通.
2.课题导入
先请同学看2014年杭州市中考数学压轴题：已知关于x的二次函数y=2kx2-（4k 1）x-k 1（k是实数）. 以下有四条结论：①存在函数，其图象经过（1，0）点；② 函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③ 当x>1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④ 若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数.判断以上四条结论的真假，并给出理由.请同学们完成以下任务：① 独立完成解答；②以四人小组为单位归纳出二次函数的图象及性质，用表格的形式呈现研究成果.
【流程设计】学生代表根据事先研究结果发言，学生往往能给出答案及过程，但要归纳出性质需要老师的引导. 如老师可以引导学生：函数图象与坐标轴的交点个数取决于什么？函数值随自变量的变化而变化的情况取决于什么？函数取最大值还是最小值取决于什么？最大值与最小值又是多少？
【设计说明】通过该组题目让学生复习回顾初中二次函数的知识.因为学生是保送生，未参加中考，以当年中考题作为本课的引入，从而复习回顾二次函数的各种性质，对学生有很强的吸引力，能充分调动学生的积极性.
3.知识整理
通过师生共同的努力，归纳出初中学过的二次函数的图象及性质.
（二）课题深入
1.创设问题情境 探究解决途径
题1：已知二次函数y=2kx2-（4k 1）x-k 1图象与x轴的交点为A，B，则线段AB的长度AB>.题2：存在实数k，使得一元二次不等式y=2kx2-（4k 1）x-k 1<0的解为x1 请同学们思考以下问题：①一元二次方程的根与二次函数的图象有何关联？②一元二次不等式的解与二次函数的图象有何关联？
【流程设计1】首先让学生独立思考，带着问题①、②解决题1，题2；其次以四人小组为单位，交流方法，归纳结论；最后师生共同努力，得出结论.
其间老师的引导不可忽视，如在研究一元二次不等式的解与二次函数图象的关系时.
师：一元二次不等式的解中最重要的信息是什么？
生1：解的两个端点.
师：解的两个端点与一元二次方程、二次函数又有何联系？
生1：解的端点即一元二次方程的根，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
师：很好，由此可得题2的结论是？
生1：k=-1.
师：其他小组有何补充？
生2：k=-1时二次函数图象开口向下，由该二次函数图象，可知不等式的解应为x>x1或x<2，故k不存在.
师：由此可知，一元二次不等式的解还与哪个因素有关？
生2：开口方向.
2.知识整理
经过师生的共同努力，归纳得到二次函数图象与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，表略.
结论：一元二次不等式的解的端点就是相应一元二次方程的两个根，即二次函数图象与x轴交点的横坐标.
【流程设计2】为培养学生严密的数学思维，老师可以继续引导学生，上述归纳是否已经涵盖了二次函数所有情况，有没有其他小组需要补充？
生3：二次函数图象如果与x轴没有交点怎么办？
师：非常好，该种情况留给大家课后讨论思考，请模仿上面结论，以小组为单位，以表格的形式上交研究性成果.
【设计说明】该环节的设计旨在将二次函数图象自身的性质拓展到运用层面，即将二次函数图象作为工具解决一元二次方程根的问题及一元二次不等式解的问题.
（三）反馈调控
练习1 已知二次函数y=2kx2-4kx-k 1的图象与函数y=x的图象交于A，B两点，求AB的取值范围.
教师引导1：函数y=ax2 bx c的图象与x轴的交点横坐标即让函数y=ax2 bx c为0的自变量x的值，那么两函数y=2kx2-4kx-k 1与y=x的图象的交点的横坐标又有何特点呢？
学生讨论1：得到两函数y=2kx2-4kx-k 1与y=x的图象的交点的横坐标?两个函数y=2kx2-4kx-k 1与y=x函数值相等的自变量x的值?方程2kx2-4kx-k 1=x的根.
练习2 ①对任意x，不等式2kx2-（4k 1）x 4k 1<0. ②二次函数y=2kx2-4kx-k 1的图象恒在一次函数y=x的图象的下方，求k的取值范围. ③或0≤x≤1时均有x2-ax-1<0，则a的取值范围是 .④高考链接：2012年浙江省高考数学卷第17题. 若x>0时，均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，则a= .
教师引导2：请大家将上述一元二次不等式问题转化为二次函数的问题. 题①不难转化：不等式2kx2-（4k 1）x 4k 1<0恒成立?函数y=2kx2-（4k 1）x 4k 1图象恒在x轴下方?函数y=2kx2-（4k 1）x 4k 1开口朝下，判别式小于0.
题②有些难度，老师可以引导学生参考一下练习1的转化方法，但仍出现一些分歧.
生1：画出函数y=2kx2-4kx-k 1的图象与一次函数y=x的图象，如图1，不难发现只要二次函数图象的最低点在一次函数图象下面即可.
生2：刚才的做法不对，有图为证，正确解法应为：二次函数y=2kx2-4kx-k 1的图象恒在一次函数y=x的图象的下方?不等式2kx2-4kx-k 1 由此题②即可转化为题①，该题是两个函数之间的关系，该转化过程与练习1类同，都可以转化为一个二次函数.
【设计说明】这是一个题组系列，层层递进，步步加深.设计本环节的目的是通过题组训练，及时了解学生的初中数学基础和对高中数学学习方法的适应程度，巩固学生运用二次函数图象解决一元二次不等式问题的能力.
（四）强化方法 升华知识
在确定大多数学生能够独立或者通过讨论解决上面两个问题之后，给出题③.
【流程设计】师：题③是在上面哪一题上延伸出来的，该如何转化？
学生小组讨论后：在题①的基础上限制了自变量的范围，因此只需要二次函数图象在0≤x≤1的范围内在x轴下方即可，画图可得只需二次函数y=x2-ax-1在x=0及x=1处的函数值为负即可.
【设计说明】强化学习效果.
（五）课堂延伸
题④是前①，②，③题的结合，即限定了自变量的范围，又涉及两个函数的图象，是2012年的高考题，有较大难度，该题作为研究性学习作业留给学生课后完成.
作业布置：思考并探索题④.
【设计说明】该题的设置出于以下几个目的：①前几道题的目的让学生的思维处于一个兴奋点，该题的留白可以让学生的兴奋点延续到课后，而不是随着课堂的结束而结束，通过课后的研究能更好地提高学生的学习积极性；②该题有一定难度，但通过本节课思想方法的渗透，课后通过小组共同的努力和研究还是可以解决的，鉴于该题是高考题，这对还没接触过高中内容的高一新生来说会有莫大的成就感.同时能让他们体会到数学思维锻炼和研究性学习的重要性，这对他们以后的高中数学学习会有巨大的帮助；③尽早让学生接触高考的信息，让学生对高中三年的学习任务和目标做到心中有数.
二、课例探究
由于篇幅的限制，本课例未能全部展现其精彩，而是在不同的环节用各种形式展示其特点. 第一环节课堂导入，作为学生进入高中课堂第一课时，有必要花上一点宝贵的时间对学生关于高中数学的学习情况和展望作个简洁说明，然后在接下去的整节课的40多分钟当中则是让学生亲历这种学习情景.为了突出其教学环节的设计意图和功能，其他几个教学环节则有详有简，或流程或实录再现，也能管窥一斑，其中折射出的教学理念和方法，值得探究.
该教师从一开始就重视研究性学习和自主学习方法的培养，帮助学生从陌生到熟悉，从被动到主动地去学会这些学习方法.教学从以老师为主的“教”走向以学生为主的“学”，给学生时间，充分信任学生，让学生去实践.同时充分考虑学生不同的观点，让学生在不同观点的冲突中寻求突破，通过问题探究式的学习，成功地引导学生从熟知的初中数学知识向未知的高中数学知识深入，从初中阶段对于问题的理解和解决方式，逐渐向高中阶段自主地探究与合作学习方式转变，使学生在不知不觉中从浅向思维向纵深思维发展，既符合学生的认知发展规律，又很好地体现了现代课程教学理念，在问题的不断深入中帮助学生建构了与二次函数相关的知识网络.归纳起来有以下几个特点：
（一）体现“学生是学习主体”的课程理念
45分钟的课，学生学习活动占用了大部分时间，教师仅花小部分时间起个桥梁作用，引导学生通过讨论、探究，自己去追寻问题的答案.在这个过程中，教师仅在关键处起四两拨千斤的作用，一两个疑问便引起学生的思考或者探究，发现规律，归纳知识，得到结论，学生在这里是真正的学习主人.
（二）体现了“对话、交流、沟通”这一课堂教学的本质
不同教学理念下教师课堂教学是截然不同的，对课堂教学本质的不同理解也会出现不同的教学效果. 一般地，对于教学本质的理解有三种：第一种理解，认为课堂教学的活动本质上是传授知识的过程，或者是传授知识与培养能力的过程；第二种理解，认为课堂教学的本质是师生双方的共同活动，是由教师的教与学生的学组合起来的共同活动过程；第三种理解，即后现代教育观，认为课堂教学的本质是对话、是交流、是沟通，认为教学实际上是师生以教学资源为中介的相互影响的过程，是一种特殊的人际交往活动的过程.
本节课正是在“对话、交流、沟通”这一教学本质理解下展开，教师想方设法地为学生创设学生交往的环境与机会，让学生在交往中获得有效的、有意义的学习与发展的空间，在沟通中建构知识体系.
对话、交流与沟通可以从教师在课堂上的用语得到体现，比如许多结论从不直接告诉，而是由教师创设问题，学生去思考、探究、发现得来；又比如一些猜测并不是通过教师的推理演绎得出，而是学生们经过动脑、动手亲自得出，然后相互交流等等；课堂上充满着平等的对话与沟通，作为学生从初中进入高中阶段的学习的第一课，给学生将来自主与合作学习开了一个好头.
（三）高效完成知识的建构
学习始于学习者的注意和预期.在学习目标的指引下，激活学生头脑中与新知识有关联的原有知识，选择地接受新的信息，最后新知识与原有知识形成联系（同化），把新知识纳入到原有知识的命题网络中（习得）.因此，在数学概念习得的阶段中，要选取适当的方法，激活学生头脑中的原有知识，同化新知识，使抽象的概念具体化、复杂的概念简单化，降低学生对概念的知觉与认同上的难度.
本文以一节二次函数的图象应用为课题，从数学知识的切入、学习方法的渗透和学习信心的树立等几方面，探讨初高中衔接教学中，如何同时兼顾知识和能力的衔接，自主学习、自主探究的意识和能力的培养，如何帮助学生迈好由初中数学通往高中数学的脚步.
一、课堂教学过程实录
（一）课堂导入
1.课堂导言
特别强调高中数学内容的范围更宽泛和深入，对分析问题、解决问题的能力以及思维品质的要求更高，我们学习的方法也与初中阶段不太相同，更多地需要我们学会独立思考，学会归纳推理，学会触类旁通.
2.课题导入
先请同学看2014年杭州市中考数学压轴题：已知关于x的二次函数y=2kx2-（4k 1）x-k 1（k是实数）. 以下有四条结论：①存在函数，其图象经过（1，0）点；② 函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③ 当x>1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④ 若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数.判断以上四条结论的真假，并给出理由.请同学们完成以下任务：① 独立完成解答；②以四人小组为单位归纳出二次函数的图象及性质，用表格的形式呈现研究成果.
【流程设计】学生代表根据事先研究结果发言，学生往往能给出答案及过程，但要归纳出性质需要老师的引导. 如老师可以引导学生：函数图象与坐标轴的交点个数取决于什么？函数值随自变量的变化而变化的情况取决于什么？函数取最大值还是最小值取决于什么？最大值与最小值又是多少？
【设计说明】通过该组题目让学生复习回顾初中二次函数的知识.因为学生是保送生，未参加中考，以当年中考题作为本课的引入，从而复习回顾二次函数的各种性质，对学生有很强的吸引力，能充分调动学生的积极性.
3.知识整理
通过师生共同的努力，归纳出初中学过的二次函数的图象及性质.
（二）课题深入
1.创设问题情境 探究解决途径
题1：已知二次函数y=2kx2-（4k 1）x-k 1图象与x轴的交点为A，B，则线段AB的长度AB>.题2：存在实数k，使得一元二次不等式y=2kx2-（4k 1）x-k 1<0的解为x1
【流程设计1】首先让学生独立思考，带着问题①、②解决题1，题2；其次以四人小组为单位，交流方法，归纳结论；最后师生共同努力，得出结论.
其间老师的引导不可忽视，如在研究一元二次不等式的解与二次函数图象的关系时.
师：一元二次不等式的解中最重要的信息是什么？
生1：解的两个端点.
师：解的两个端点与一元二次方程、二次函数又有何联系？
生1：解的端点即一元二次方程的根，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
师：很好，由此可得题2的结论是？
生1：k=-1.
师：其他小组有何补充？
生2：k=-1时二次函数图象开口向下，由该二次函数图象，可知不等式的解应为x>x1或x<2，故k不存在.
师：由此可知，一元二次不等式的解还与哪个因素有关？
生2：开口方向.
2.知识整理
经过师生的共同努力，归纳得到二次函数图象与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，表略.
结论：一元二次不等式的解的端点就是相应一元二次方程的两个根，即二次函数图象与x轴交点的横坐标.
【流程设计2】为培养学生严密的数学思维，老师可以继续引导学生，上述归纳是否已经涵盖了二次函数所有情况，有没有其他小组需要补充？
生3：二次函数图象如果与x轴没有交点怎么办？
师：非常好，该种情况留给大家课后讨论思考，请模仿上面结论，以小组为单位，以表格的形式上交研究性成果.
【设计说明】该环节的设计旨在将二次函数图象自身的性质拓展到运用层面，即将二次函数图象作为工具解决一元二次方程根的问题及一元二次不等式解的问题.
（三）反馈调控
练习1 已知二次函数y=2kx2-4kx-k 1的图象与函数y=x的图象交于A，B两点，求AB的取值范围.
教师引导1：函数y=ax2 bx c的图象与x轴的交点横坐标即让函数y=ax2 bx c为0的自变量x的值，那么两函数y=2kx2-4kx-k 1与y=x的图象的交点的横坐标又有何特点呢？
学生讨论1：得到两函数y=2kx2-4kx-k 1与y=x的图象的交点的横坐标?两个函数y=2kx2-4kx-k 1与y=x函数值相等的自变量x的值?方程2kx2-4kx-k 1=x的根.
练习2 ①对任意x，不等式2kx2-（4k 1）x 4k 1<0. ②二次函数y=2kx2-4kx-k 1的图象恒在一次函数y=x的图象的下方，求k的取值范围. ③或0≤x≤1时均有x2-ax-1<0，则a的取值范围是 .④高考链接：2012年浙江省高考数学卷第17题. 若x>0时，均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，则a= .
教师引导2：请大家将上述一元二次不等式问题转化为二次函数的问题. 题①不难转化：不等式2kx2-（4k 1）x 4k 1<0恒成立?函数y=2kx2-（4k 1）x 4k 1图象恒在x轴下方?函数y=2kx2-（4k 1）x 4k 1开口朝下，判别式小于0.
题②有些难度，老师可以引导学生参考一下练习1的转化方法，但仍出现一些分歧.
生1：画出函数y=2kx2-4kx-k 1的图象与一次函数y=x的图象，如图1，不难发现只要二次函数图象的最低点在一次函数图象下面即可.
生2：刚才的做法不对，有图为证，正确解法应为：二次函数y=2kx2-4kx-k 1的图象恒在一次函数y=x的图象的下方?不等式2kx2-4kx-k 1
【设计说明】这是一个题组系列，层层递进，步步加深.设计本环节的目的是通过题组训练，及时了解学生的初中数学基础和对高中数学学习方法的适应程度，巩固学生运用二次函数图象解决一元二次不等式问题的能力.
（四）强化方法 升华知识
在确定大多数学生能够独立或者通过讨论解决上面两个问题之后，给出题③.
【流程设计】师：题③是在上面哪一题上延伸出来的，该如何转化？
学生小组讨论后：在题①的基础上限制了自变量的范围，因此只需要二次函数图象在0≤x≤1的范围内在x轴下方即可，画图可得只需二次函数y=x2-ax-1在x=0及x=1处的函数值为负即可.
【设计说明】强化学习效果.
（五）课堂延伸
题④是前①，②，③题的结合，即限定了自变量的范围，又涉及两个函数的图象，是2012年的高考题，有较大难度，该题作为研究性学习作业留给学生课后完成.
作业布置：思考并探索题④.
【设计说明】该题的设置出于以下几个目的：①前几道题的目的让学生的思维处于一个兴奋点，该题的留白可以让学生的兴奋点延续到课后，而不是随着课堂的结束而结束，通过课后的研究能更好地提高学生的学习积极性；②该题有一定难度，但通过本节课思想方法的渗透，课后通过小组共同的努力和研究还是可以解决的，鉴于该题是高考题，这对还没接触过高中内容的高一新生来说会有莫大的成就感.同时能让他们体会到数学思维锻炼和研究性学习的重要性，这对他们以后的高中数学学习会有巨大的帮助；③尽早让学生接触高考的信息，让学生对高中三年的学习任务和目标做到心中有数.
二、课例探究
由于篇幅的限制，本课例未能全部展现其精彩，而是在不同的环节用各种形式展示其特点. 第一环节课堂导入，作为学生进入高中课堂第一课时，有必要花上一点宝贵的时间对学生关于高中数学的学习情况和展望作个简洁说明，然后在接下去的整节课的40多分钟当中则是让学生亲历这种学习情景.为了突出其教学环节的设计意图和功能，其他几个教学环节则有详有简，或流程或实录再现，也能管窥一斑，其中折射出的教学理念和方法，值得探究.
该教师从一开始就重视研究性学习和自主学习方法的培养，帮助学生从陌生到熟悉，从被动到主动地去学会这些学习方法.教学从以老师为主的“教”走向以学生为主的“学”，给学生时间，充分信任学生，让学生去实践.同时充分考虑学生不同的观点，让学生在不同观点的冲突中寻求突破，通过问题探究式的学习，成功地引导学生从熟知的初中数学知识向未知的高中数学知识深入，从初中阶段对于问题的理解和解决方式，逐渐向高中阶段自主地探究与合作学习方式转变，使学生在不知不觉中从浅向思维向纵深思维发展，既符合学生的认知发展规律，又很好地体现了现代课程教学理念，在问题的不断深入中帮助学生建构了与二次函数相关的知识网络.归纳起来有以下几个特点：
（一）体现“学生是学习主体”的课程理念
45分钟的课，学生学习活动占用了大部分时间，教师仅花小部分时间起个桥梁作用，引导学生通过讨论、探究，自己去追寻问题的答案.在这个过程中，教师仅在关键处起四两拨千斤的作用，一两个疑问便引起学生的思考或者探究，发现规律，归纳知识，得到结论，学生在这里是真正的学习主人.
（二）体现了“对话、交流、沟通”这一课堂教学的本质
不同教学理念下教师课堂教学是截然不同的，对课堂教学本质的不同理解也会出现不同的教学效果. 一般地，对于教学本质的理解有三种：第一种理解，认为课堂教学的活动本质上是传授知识的过程，或者是传授知识与培养能力的过程；第二种理解，认为课堂教学的本质是师生双方的共同活动，是由教师的教与学生的学组合起来的共同活动过程；第三种理解，即后现代教育观，认为课堂教学的本质是对话、是交流、是沟通，认为教学实际上是师生以教学资源为中介的相互影响的过程，是一种特殊的人际交往活动的过程.
本节课正是在“对话、交流、沟通”这一教学本质理解下展开，教师想方设法地为学生创设学生交往的环境与机会，让学生在交往中获得有效的、有意义的学习与发展的空间，在沟通中建构知识体系.
对话、交流与沟通可以从教师在课堂上的用语得到体现，比如许多结论从不直接告诉，而是由教师创设问题，学生去思考、探究、发现得来；又比如一些猜测并不是通过教师的推理演绎得出，而是学生们经过动脑、动手亲自得出，然后相互交流等等；课堂上充满着平等的对话与沟通，作为学生从初中进入高中阶段的学习的第一课，给学生将来自主与合作学习开了一个好头.
（三）高效完成知识的建构
学习始于学习者的注意和预期.在学习目标的指引下，激活学生头脑中与新知识有关联的原有知识，选择地接受新的信息，最后新知识与原有知识形成联系（同化），把新知识纳入到原有知识的命题网络中（习得）.因此，在数学概念习得的阶段中，要选取适当的方法，激活学生头脑中的原有知识，同化新知识，使抽象的概念具体化、复杂的概念简单化，降低学生对概念的知觉与认同上的难度.