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摘 要：随着中学招生方式的改变，近年来，各地小升初数学试题的灵活度提高了，导致常规的解题方法难以应对，学生纷纷跑到各种培训班去拓展提升，这也倒逼教师着手课外习题的研究。文章作者结合六年级的数学教学，浅谈解题教学的一些新做法。
关键词：审题；新角度；作图
一、审题要有新角度
审题是将题目中的每个条件解析成若干算式、方程或函数。客观地说，对于严重变形、中学下放、奥数转型而来的考题，常规的分析法、综合法根本审不出什么所以然，得换一个角度审视问题与条件。
一是审题要通过文字表达了解到言外之意。如：甲乙丙丁合作修了一段路，甲修了其他三队的—，乙修了其他三队的—，丙修了其他三队的—，丁修了69米，公路全长多少米？题中三个分数对应的“1”各不相同不能直接用，得引导学生借助线段图，通过“甲修了其他三队的—”的字面意思理解到“甲实际修了全长的—”这一重要的言外之意，数量关系才能明朗。又如：三个班去采树种，其中12千克不是一班采的，14千克不是二班采的，18千克不是三班采的，三个班各采了多少千克？根据题意只能列出“一班+二班≠12”等三道不中用的不等式，因此，得引导学生透过字面“12千克不是一班采的”领会到“不是一班的就是二班加三班采的”，从而列出“二班+三班=12”这样的有效等式。言外之意有时隐藏在字里行间，要透过本义进行引申和扩展；有时蕴藏在生活常识中，得联系语境转换表达方式。
二是审题要避免惯性思维走出逻辑误区。如：甲乙丙丁四个数各不相等，如果甲增加2、乙减少2、丙扩大2倍、丁缩小到原来的—，则四个数相等，且它们的和是360，它们原来各是多少？如果从习惯角度出发就会列出360÷4=90，然后倒推得出88、92、45和180，而这显然不符合“和是360”的题意。这正是犯了“总数除以份数就等于平均数”的习惯性逻辑错误。为了走出误区，教学时可以用字母a代替数去引导学生审题：a加2与a减2抵消后是得2a，而a除以2成了—a即0.5a，而它乘以2却得2a，四个数合起来是4.5a而不是4a！然后用算式360÷4.5=80求出a，然后再倒推得到四个数分别为78、82、40和160，这就符合题意了。
像这种因思维习惯产生逻辑错乱的例子还有很多。如田字格中，甲乙丙的面积分别是1、2、3，丁的面积是多少？学生很容易根据惯性错填4，而忽略了面积与宽度的倍比关系。
三是审题要有联系发展的目光，比如，按照规律排列的一串数1、2、4、7、11、16、22……这串数字第2017个是（ ）。如果按照差变化规律去推算，学生几乎无法理解，如果审题时能联想到相似的一串数1、3、6、10、15……把题目中的数字分别减去1后，就容易找出任何一项的数量与它的序数存在等差数列和的关系，从而列出（1+2016）×2016÷2+1。审题是解题的第一要务，对于非常规的题目，审理题意时也要因变而变，采用另类的方法方可凑效。
二、作图要有新招术
线段图能让抽象信息直观呈现，是解决难题最重要的辅助手段。但仅仅掌握诸如画线图“左端要对齐、从小数画起”之类的“大路货”技能是不够的，还要学习具有针对性的新式作图策略。
一是可以把几条线图合并成一条以便分析，比如：甲对乙说，当我的年龄是你现在的年龄时，你才4岁。乙对甲说，当我的年龄是你现在的年龄时，你61岁了。问甲现在几岁？如果用两条线段表示两者岁数，用拉斜线表示年龄差，学生看图会眼花。如果改用在同一条时间轴上用等长表示年龄差，再用两次转换自然地画出甲乙两人从4岁到61岁存在的年龄差是61-4=57（岁），从而算出甲乙的年龄差是57÷3=19（岁），就不难算出甲的年龄是61-19=42（岁）。
二是可以把一条线图变化出便于比较的复式线图，如：一捆电线剪去全长的—后再接上6米，这时的电线比原来的长40%。这根电线原来有多长？先用粗线条表示整体，再在它上方用虚线标出缩短的—后的位置，又在粗线下方缩短处接着添接上增长的40%，参照粗线整体确定增加部分的结束位置，这样，上、中、下相对照就容易找出6米所对应的分率了，像和倍、差倍问题都可以用这种方法作图。
三是作图可借助不同符号区分不同的标准量，如一批大米，第一天用去总数的—多16千克，第二天用去余下的—少4千克，还剩下260千克，这批大米原来有多少千克？作图时用重点号“·”先标记好—，再用三角号“?”标记剩余的三等份，然后看着符号依次倒推，就不会混淆。像“第一次用去总数的几分之几又多少、第二次再用去剩下的几分之几又多少、还剩下多少求总数”之类的題目，用这种方法作图简直就是不二法门。同时，作图可以把隐藏的条件标示出来。如：甲乙相向而行，当相遇时甲走了全长的—，当乙到终点时，甲离终点还有120米，求两地距离。这里画图要推想到相遇时乙走了—，甚至要联想到乙的速度是甲的3倍，进而想到当乙再走—到终点时甲又走了—的—即—，并在线图上标出这些隐藏条件，就不难列出算式120÷（1-—-—）。
四是对于看上去别扭的图形，还可以进行标准化处理。如一个直角边分别为8厘米和6厘米的直角三角形的直角顶点与一个边长是6厘米的正方形中心点重合（阴影不规则），求不重叠部分三角形阴影的面积。学生对这种非典型不规则图形面积无从下手。这时，教师就要指导学生将其中一个图形旋转到特定位置（阴影是矩形），学生一眼看出阴影正好是边长3厘米的正方形。许多图形重叠问题（像等积变形）都可以在满足题目要求的情况下将图形作旋转平移（如顶点的平移）等特殊处理，使不确定问题明朗化。作图还可以使用特殊标示的方法，如：甲乙丙的书本数各不相同，如果甲给乙12本，乙给丙27本，丙给甲34本，他们每人就都有100本书了，原来他们各有多少本？如果把甲乙丙三种量呈品字形排列，用箭头标出数量出入情况，然后进行反向倒推，要比列表法清晰得多。像求复杂化的“凹凸”类图形的周长，如果用切割移拼的方法，就连教师都难免看得头晕眼花，但是，如果就在原图上用箭头标出“蚂蚁”的爬行方向，然后根据“标向法”所提示的“左右相等、上下相等”的方法列式，理解起来就不费吹灰之力。作这些图能巧妙揭示数量关系，在解题中起到四两拨千斤的效果。 三、假设要有新技巧
方程能简明地表达数量关系，但设未知数是个技术活，教学要传授设数的技术要领。
首先，设一种数量能得到几种相关的数量是一种学生容易忽视的技巧。如：甲乙两班共90人，甲班人数的—与乙班人数的—共有13人，两个班各有多少人？假设甲班有X人，一定要联想到乙班有（90-X）人；其次，直接用文字代替未知数能降低解题难度。如：一件工程，甲乙合作36天完成，乙丙合作45天完成，甲丙合作60天，甲单独做要几天完成？（注意：直接设独立完成的天数会导致逻辑错误），假设甲乙丙的工效分别为甲、乙、丙，列成文字方程采用等式叠加对比的方法，学生就能轻易完成，甲+乙=—，乙+丙=— ——甲+丙=— ，推出（甲+乙+丙）2=—，因经过对比得出甲的工效为—-—=—，得出甲单独完成的时间为90天。
再次，教师可以设某些数为具体的数。对于一般的文字叙述的概念填空分数题，可以将标准量设为1。如：长方形的长增加20%，宽减少20%，面积会怎样。假设长、宽为1来推算就很方便。同样，对百分数如溶液浓度之类的问题，可以设溶液质量为100，这也是一种方法。如：在浓度为40%的糖水中加入了30克水，浓度变为30%，再加入多少克糖浓度可以变回40%？这里假设糖水总共有100克，就可能推出糖与水各有40克和60克，糖与水的比是2：3，加了30克的水，按照比例，配上20克的糖就行了。这里设具体数，就避免了因为设总数X克造成方程复杂化的弊端。
除了设为特殊的“1”和“100”，有时还可以结合已知数量设某个量为具体数。如：一艘船顺水航行每小时行50千米，逆水航行每小时行30千米，问船在这段河道航行的平均速度是多少？这时要假設这段河道长度为两个速度的最小公倍数150才便于运算。
最后，设数甚至还要“设”非所问，才能便于列出方程。如超市里苹果的重量是橘子的4倍，如果每天卖出70千克苹果和30千克橘子，当橘子卖完时，苹果还有400千克，超市原有苹果和橘子各多少千克？这题不管设哪一种水果数量，都会使问题复杂化，只有设与两种剩余数量都相关联的天数为a，才能使数量关系变得明朗，即4×30a=70a+400。又如，弦图中，大正方形的面积为49平方厘米，小正方形的面积为4平方厘米，求每个小长方形的面积。如果设小长方形面积为未知数就会陷入困局，如果设小长方形的长为x，根据重叠关系就能列出x+x-2=7，得出x=3.5以后，一切就迎刃而解，这也是解决弦图类问题最主要的策略。再则，有些复杂的计算本身并没有未知数，也可以假设一个字母来取代某一组数，以简化计算。如：（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.78）-（1+0.23+0.34+0.78）×（0.23+0.34）可以设0.23+0.34=a，0.23+0.34+0.78=b列出代数式（1+a）b-（1+b）a就能通过抵消的方法简化运算，巧妙假设能够驭繁为简。
参考文献：
[1]朱华伟，钱展望.数学解题策略[M].北京：科学出版社，2009.
[2]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版总社，2016.
[3]郭淑清.小学数学分数应用题的解题障碍及解决对策[J].课程教育研究，2015（26）.
[4]徐伟建，余雪莲.问题归类在初中数学教学中的运用途径探究[J].上海中学数学，2015（Z2）.
[5]殷伟康.基于数学问题解决的模式识别解题策略的探析与思考[J].中学数学研究，2014（10）.
[6]米 萌，侯万胜.认知结构对数学解题的影响[J].延安职业技术学院学报，2011（1）.
[7]刘雪琴，陈伟君.重视数学概念教学 优化数学认知结构[J].吉林教育，2010（35）.
[8]耿兆楠，李书玉.浅谈鼓励教育在教学实践中应注意的几个问题[J].中国校外教育，2012（20）.
[9]张红星.关于小学数学教学实践的几点思考[J].中国校外教育，2018（8）.
[10]陈本凤.“1+N”引导 张扬灵性风帆[J].海峡科学，2008（12）.
[11]范足荣.浅谈趣味教学法在小学数学课堂教学中的运用[J].才智，2011（1）.
[12]喻志东.趣味教学法在小学数学教学实践中的应用[J]. 新课程学习（中旬刊）， 2013（5）.
关键词：审题；新角度；作图
一、审题要有新角度
审题是将题目中的每个条件解析成若干算式、方程或函数。客观地说，对于严重变形、中学下放、奥数转型而来的考题，常规的分析法、综合法根本审不出什么所以然，得换一个角度审视问题与条件。
一是审题要通过文字表达了解到言外之意。如：甲乙丙丁合作修了一段路，甲修了其他三队的—，乙修了其他三队的—，丙修了其他三队的—，丁修了69米，公路全长多少米？题中三个分数对应的“1”各不相同不能直接用，得引导学生借助线段图，通过“甲修了其他三队的—”的字面意思理解到“甲实际修了全长的—”这一重要的言外之意，数量关系才能明朗。又如：三个班去采树种，其中12千克不是一班采的，14千克不是二班采的，18千克不是三班采的，三个班各采了多少千克？根据题意只能列出“一班+二班≠12”等三道不中用的不等式，因此，得引导学生透过字面“12千克不是一班采的”领会到“不是一班的就是二班加三班采的”，从而列出“二班+三班=12”这样的有效等式。言外之意有时隐藏在字里行间，要透过本义进行引申和扩展；有时蕴藏在生活常识中，得联系语境转换表达方式。
二是审题要避免惯性思维走出逻辑误区。如：甲乙丙丁四个数各不相等，如果甲增加2、乙减少2、丙扩大2倍、丁缩小到原来的—，则四个数相等，且它们的和是360，它们原来各是多少？如果从习惯角度出发就会列出360÷4=90，然后倒推得出88、92、45和180，而这显然不符合“和是360”的题意。这正是犯了“总数除以份数就等于平均数”的习惯性逻辑错误。为了走出误区，教学时可以用字母a代替数去引导学生审题：a加2与a减2抵消后是得2a，而a除以2成了—a即0.5a，而它乘以2却得2a，四个数合起来是4.5a而不是4a！然后用算式360÷4.5=80求出a，然后再倒推得到四个数分别为78、82、40和160，这就符合题意了。
像这种因思维习惯产生逻辑错乱的例子还有很多。如田字格中，甲乙丙的面积分别是1、2、3，丁的面积是多少？学生很容易根据惯性错填4，而忽略了面积与宽度的倍比关系。
三是审题要有联系发展的目光，比如，按照规律排列的一串数1、2、4、7、11、16、22……这串数字第2017个是（ ）。如果按照差变化规律去推算，学生几乎无法理解，如果审题时能联想到相似的一串数1、3、6、10、15……把题目中的数字分别减去1后，就容易找出任何一项的数量与它的序数存在等差数列和的关系，从而列出（1+2016）×2016÷2+1。审题是解题的第一要务，对于非常规的题目，审理题意时也要因变而变，采用另类的方法方可凑效。
二、作图要有新招术
线段图能让抽象信息直观呈现，是解决难题最重要的辅助手段。但仅仅掌握诸如画线图“左端要对齐、从小数画起”之类的“大路货”技能是不够的，还要学习具有针对性的新式作图策略。
一是可以把几条线图合并成一条以便分析，比如：甲对乙说，当我的年龄是你现在的年龄时，你才4岁。乙对甲说，当我的年龄是你现在的年龄时，你61岁了。问甲现在几岁？如果用两条线段表示两者岁数，用拉斜线表示年龄差，学生看图会眼花。如果改用在同一条时间轴上用等长表示年龄差，再用两次转换自然地画出甲乙两人从4岁到61岁存在的年龄差是61-4=57（岁），从而算出甲乙的年龄差是57÷3=19（岁），就不难算出甲的年龄是61-19=42（岁）。
二是可以把一条线图变化出便于比较的复式线图，如：一捆电线剪去全长的—后再接上6米，这时的电线比原来的长40%。这根电线原来有多长？先用粗线条表示整体，再在它上方用虚线标出缩短的—后的位置，又在粗线下方缩短处接着添接上增长的40%，参照粗线整体确定增加部分的结束位置，这样，上、中、下相对照就容易找出6米所对应的分率了，像和倍、差倍问题都可以用这种方法作图。
三是作图可借助不同符号区分不同的标准量，如一批大米，第一天用去总数的—多16千克，第二天用去余下的—少4千克，还剩下260千克，这批大米原来有多少千克？作图时用重点号“·”先标记好—，再用三角号“?”标记剩余的三等份，然后看着符号依次倒推，就不会混淆。像“第一次用去总数的几分之几又多少、第二次再用去剩下的几分之几又多少、还剩下多少求总数”之类的題目，用这种方法作图简直就是不二法门。同时，作图可以把隐藏的条件标示出来。如：甲乙相向而行，当相遇时甲走了全长的—，当乙到终点时，甲离终点还有120米，求两地距离。这里画图要推想到相遇时乙走了—，甚至要联想到乙的速度是甲的3倍，进而想到当乙再走—到终点时甲又走了—的—即—，并在线图上标出这些隐藏条件，就不难列出算式120÷（1-—-—）。
四是对于看上去别扭的图形，还可以进行标准化处理。如一个直角边分别为8厘米和6厘米的直角三角形的直角顶点与一个边长是6厘米的正方形中心点重合（阴影不规则），求不重叠部分三角形阴影的面积。学生对这种非典型不规则图形面积无从下手。这时，教师就要指导学生将其中一个图形旋转到特定位置（阴影是矩形），学生一眼看出阴影正好是边长3厘米的正方形。许多图形重叠问题（像等积变形）都可以在满足题目要求的情况下将图形作旋转平移（如顶点的平移）等特殊处理，使不确定问题明朗化。作图还可以使用特殊标示的方法，如：甲乙丙的书本数各不相同，如果甲给乙12本，乙给丙27本，丙给甲34本，他们每人就都有100本书了，原来他们各有多少本？如果把甲乙丙三种量呈品字形排列，用箭头标出数量出入情况，然后进行反向倒推，要比列表法清晰得多。像求复杂化的“凹凸”类图形的周长，如果用切割移拼的方法，就连教师都难免看得头晕眼花，但是，如果就在原图上用箭头标出“蚂蚁”的爬行方向，然后根据“标向法”所提示的“左右相等、上下相等”的方法列式，理解起来就不费吹灰之力。作这些图能巧妙揭示数量关系，在解题中起到四两拨千斤的效果。 三、假设要有新技巧
方程能简明地表达数量关系，但设未知数是个技术活，教学要传授设数的技术要领。
首先，设一种数量能得到几种相关的数量是一种学生容易忽视的技巧。如：甲乙两班共90人，甲班人数的—与乙班人数的—共有13人，两个班各有多少人？假设甲班有X人，一定要联想到乙班有（90-X）人；其次，直接用文字代替未知数能降低解题难度。如：一件工程，甲乙合作36天完成，乙丙合作45天完成，甲丙合作60天，甲单独做要几天完成？（注意：直接设独立完成的天数会导致逻辑错误），假设甲乙丙的工效分别为甲、乙、丙，列成文字方程采用等式叠加对比的方法，学生就能轻易完成，甲+乙=—，乙+丙=— ——甲+丙=— ，推出（甲+乙+丙）2=—，因经过对比得出甲的工效为—-—=—，得出甲单独完成的时间为90天。
再次，教师可以设某些数为具体的数。对于一般的文字叙述的概念填空分数题，可以将标准量设为1。如：长方形的长增加20%，宽减少20%，面积会怎样。假设长、宽为1来推算就很方便。同样，对百分数如溶液浓度之类的问题，可以设溶液质量为100，这也是一种方法。如：在浓度为40%的糖水中加入了30克水，浓度变为30%，再加入多少克糖浓度可以变回40%？这里假设糖水总共有100克，就可能推出糖与水各有40克和60克，糖与水的比是2：3，加了30克的水，按照比例，配上20克的糖就行了。这里设具体数，就避免了因为设总数X克造成方程复杂化的弊端。
除了设为特殊的“1”和“100”，有时还可以结合已知数量设某个量为具体数。如：一艘船顺水航行每小时行50千米，逆水航行每小时行30千米，问船在这段河道航行的平均速度是多少？这时要假設这段河道长度为两个速度的最小公倍数150才便于运算。
最后，设数甚至还要“设”非所问，才能便于列出方程。如超市里苹果的重量是橘子的4倍，如果每天卖出70千克苹果和30千克橘子，当橘子卖完时，苹果还有400千克，超市原有苹果和橘子各多少千克？这题不管设哪一种水果数量，都会使问题复杂化，只有设与两种剩余数量都相关联的天数为a，才能使数量关系变得明朗，即4×30a=70a+400。又如，弦图中，大正方形的面积为49平方厘米，小正方形的面积为4平方厘米，求每个小长方形的面积。如果设小长方形面积为未知数就会陷入困局，如果设小长方形的长为x，根据重叠关系就能列出x+x-2=7，得出x=3.5以后，一切就迎刃而解，这也是解决弦图类问题最主要的策略。再则，有些复杂的计算本身并没有未知数，也可以假设一个字母来取代某一组数，以简化计算。如：（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.78）-（1+0.23+0.34+0.78）×（0.23+0.34）可以设0.23+0.34=a，0.23+0.34+0.78=b列出代数式（1+a）b-（1+b）a就能通过抵消的方法简化运算，巧妙假设能够驭繁为简。
参考文献：
[1]朱华伟，钱展望.数学解题策略[M].北京：科学出版社，2009.
[2]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版总社，2016.
[3]郭淑清.小学数学分数应用题的解题障碍及解决对策[J].课程教育研究，2015（26）.
[4]徐伟建，余雪莲.问题归类在初中数学教学中的运用途径探究[J].上海中学数学，2015（Z2）.
[5]殷伟康.基于数学问题解决的模式识别解题策略的探析与思考[J].中学数学研究，2014（10）.
[6]米 萌，侯万胜.认知结构对数学解题的影响[J].延安职业技术学院学报，2011（1）.
[7]刘雪琴，陈伟君.重视数学概念教学 优化数学认知结构[J].吉林教育，2010（35）.
[8]耿兆楠，李书玉.浅谈鼓励教育在教学实践中应注意的几个问题[J].中国校外教育，2012（20）.
[9]张红星.关于小学数学教学实践的几点思考[J].中国校外教育，2018（8）.
[10]陈本凤.“1+N”引导 张扬灵性风帆[J].海峡科学，2008（12）.
[11]范足荣.浅谈趣味教学法在小学数学课堂教学中的运用[J].才智，2011（1）.
[12]喻志东.趣味教学法在小学数学教学实践中的应用[J]. 新课程学习（中旬刊）， 2013（5）.