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【摘要】贝叶斯公式是“概率论与数理统计”中的一个重要公式，也是教学中的一个重难点.教学中，结合实例给出应用背景和应用原理，引导学生理解贝叶斯公式内涵和应用，可以获得理想的教学效果.
【关键词】贝叶斯公式;概率;教学设计;教学效果
贝叶斯公式这一节教学内容在“概率论与数理统计”中占有重要的地位，是这门学科的教学重点与难点之一.这个公式无论是在我们日常生活中，还是科学技术领域都有着广泛的作用.学生在学习这块知识内容时，一方面搞不清这个知识怎么用，另一方面容易和前面所学习的全概率公式发生混淆，不能理解它的思想，掌握它的作用.笔者就贝叶斯公式这一节内容采取了一种新的教学设计，并应用于课堂教学，取得了不错的效果.
一、教学内容的引入
（一）回顾旧知识
首先来复习一下前面学的条件概率、乘法公式、全概率公式.
这些公式能不能解决下面的历史问题呢？
（二）应用背景导入——核潜艇沉没搜救事件
1968年5月22日，美国“天蝎号”核潜艇在大西洋亚速海海域神秘沉没，艇上99人全部遇难，美军凭经验在海底进行了长达五个月的搜索，结果一无所获，最后听从了数学家Craven的建议，经过几次搜索，在爆炸点西南方3200米深的海底发现其残骸[1].
这位数学家给出的建议是什么呢？可以用前面的公式理论来解决吗？答案是不能，但是我们可以通过一个简单例子来感受一下所用的原理.
（三）引例
例1 某个兴趣班，把班上学生分成三组进行讨论，其中第1小组有3个男生和4个女生，第2小组有4个男生和3个女生，第3小组有1个男生和6个女生，现在老师在三个小组中任选一组，从中任意选择一名同学进行发言，如果这名同学是女生，求该同学来自第1小组的概率.
选取的这个例题比较简单，通俗易懂.这是一个已知结果的产生，寻找导致这种结果的来源或者原因的概率的问题.生活中类似的例子很多，如病人发烧了，寻求导致发烧的因素，次品产生了，找出是哪条流水线生产的产品等，都可以归结为这类由果寻因事件的概率.所以将（1）式一般化便可得到贝叶斯公式.
二、贝叶斯公式
（一）定理
（二）定理的注解
1.上式称为贝叶斯公式，公式的推导类似于例1的推导，由条件概率公式及全概率公式即可得，初学者也很容易接受.贝叶斯公式由英国数学家托马斯·贝叶斯（1702—1761）提出，他生前是受人尊重的牧师，自学成才的数学家，在数学方面主要研究概率论.他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，创立了贝叶斯统计理论，对统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献[6].他的著作有《论机会学说问题的求解》（1763）和《机会的学说概论》（1758）.历史上有些数学家虽然名气不大，著作很少，但影响深刻，贝叶斯就是这样一个典型的代表人物[3].
三、贝叶斯公式的应用
（一）典型例题
例2 《三国演义》中有个著名的故事是“诸葛亮挥泪斩马谡”，原因是“街亭失守”，现在我们来分析马谡要不要承担主要责任.我们主要考虑影响这次街亭之役的三个主要因素：（1）主帅缺少才能，不堪大任;（2）将帅不和，难服人心;（3）敌众我寡，兵力悬殊.哪个可能大，各占多大比例？
通过计算的结果，我们得知“街亭失守”的主要责任在主帅马谡.举这个例子既可以增加课堂教学的趣味性，又可以初步理解贝叶斯公式的意义.
例3 某地居民肝癌发病率为0.003，采用甲胎蛋白法进行普查，患者对这种检查结果呈阳性的概率为0.94，而未患肝癌的被检查者呈阳性的概率是0.05，现有一批人甲胎蛋白检查结果呈阳性，问此批人是肝癌患者的概率有多大？[3，4]
接下来我们进一步分析本题结果的意义.这一地区的普通人群肝癌发病率是0.003;患者对甲胎蛋白测试结果呈阳性的概率为0.94，不是100%，这说明这种检查对患者存在漏诊;未患病的检查者对甲胎蛋白测试结果是阳性的概率为0.05，说明这种检查存在误诊情况.那么这种甲胎蛋白检查对于诊断被检查者是否患有肝癌有无意义呢？如果不做這种检查，抽查一人，他是患者的概率P（C）=0.003（先验概率），这是检查前根据临床资料统计而得出的.检查出现阳性反应后，此人是患者的概率为P（C|A）=0.0535（后验概率），概率增加了约18倍.也就是说这个人从普通人群上升为“疑似”人群，这说明这种检查很重要，很有意义.另一方面，检查出甲胎蛋白结果是阳性来判断病人是否患肝癌，它的准确率是很低的，因为P（C|A）=0.0535，也就是说100个人检查是阳性，约5人是肝癌患者，即使某人检出阳性，也不能过早下结论此人患有肝癌.这和我们的直觉不一样！原因是P（A|C）=0.94，P（C|A）=0.0535这两者均为条件概率，但区别很大.前者是正向概率，原因导致结果的概率;而后者是逆向概率，由结果推原因的概率.那么为什么这个结论和我们的直觉相差这么大呢？是因为先验概率P（C）=0.003的值比较小，在贝叶斯公式计算中，分子作为分母的一部分所占的权重低，所以最终后验概率数值不大.本题中抽查一个人是阳性，虽然不一定是患者，但此人从普通人群也上升到“疑似”人群了，接下来该怎么办呢？复查！这时先验概率已更新为P（C）=0.0535，则P（C-）=1-0.0535=0.9465，运用贝叶斯公式可得
这个概率值比较大了，可以说此人是“高度疑似”病患了.如果第三次复查结果仍为阳性，先验概率再一次更新为P（C）=0.5152，再次运用贝叶斯公式可得
这个概率值已经很大了，可以说此人基本确诊.而事实上先验概率为0.3时，后验概率值就接近0.9了，几乎可以确定是患病了，需要赶快治疗.通常医生总是先采取一些其他简单易行的辅助方法进行检验，当他怀疑病人有可能患有肝癌时，才建议用甲胎蛋白法检验，这时，如果病人出现阳性结果，那么他患病的可能性就很高了. 举这个例子的作用可以让学生理解先验概率和后验概率的意义以及深刻地理解贝叶斯公式的核心本质.
（二）引例中“天蝎号”的搜救原理
在茫茫大海中尋找失联的船艇，确实很困难，因为在船艇发生爆炸时，人们不知道它当时航行的速度、行驶方向、爆炸冲击力的大小、潜艇的方向舵的指向、海水的冲击力等等.Craven召集了数学、潜艇、海事搜救等各领域的专家，让他们根据自己的知识与经验对于情况向哪一个方向发展进行猜测，并评估每种情况出现的可能性.Craven综合各方面的信息，绘制了一张20英里海域内的概率图，把整个海域分成许多小格子海域，每个小格子需要考虑两个概率值[7]：船艇在一个格子里的概率是p，在小格子里且被搜到的概率是q.当在一个小格子里没有搜救到船艇时，按照贝叶斯公式，船艇还在这个格子的概率是p1=p（1-q）（1-p） p（1-q）=p（1-q）1-pq
【关键词】贝叶斯公式;概率;教学设计;教学效果
贝叶斯公式这一节教学内容在“概率论与数理统计”中占有重要的地位，是这门学科的教学重点与难点之一.这个公式无论是在我们日常生活中，还是科学技术领域都有着广泛的作用.学生在学习这块知识内容时，一方面搞不清这个知识怎么用，另一方面容易和前面所学习的全概率公式发生混淆，不能理解它的思想，掌握它的作用.笔者就贝叶斯公式这一节内容采取了一种新的教学设计，并应用于课堂教学，取得了不错的效果.
一、教学内容的引入
（一）回顾旧知识
首先来复习一下前面学的条件概率、乘法公式、全概率公式.
这些公式能不能解决下面的历史问题呢？
（二）应用背景导入——核潜艇沉没搜救事件
1968年5月22日，美国“天蝎号”核潜艇在大西洋亚速海海域神秘沉没，艇上99人全部遇难，美军凭经验在海底进行了长达五个月的搜索，结果一无所获，最后听从了数学家Craven的建议，经过几次搜索，在爆炸点西南方3200米深的海底发现其残骸[1].
这位数学家给出的建议是什么呢？可以用前面的公式理论来解决吗？答案是不能，但是我们可以通过一个简单例子来感受一下所用的原理.
（三）引例
例1 某个兴趣班，把班上学生分成三组进行讨论，其中第1小组有3个男生和4个女生，第2小组有4个男生和3个女生，第3小组有1个男生和6个女生，现在老师在三个小组中任选一组，从中任意选择一名同学进行发言，如果这名同学是女生，求该同学来自第1小组的概率.
选取的这个例题比较简单，通俗易懂.这是一个已知结果的产生，寻找导致这种结果的来源或者原因的概率的问题.生活中类似的例子很多，如病人发烧了，寻求导致发烧的因素，次品产生了，找出是哪条流水线生产的产品等，都可以归结为这类由果寻因事件的概率.所以将（1）式一般化便可得到贝叶斯公式.
二、贝叶斯公式
（一）定理
（二）定理的注解
1.上式称为贝叶斯公式，公式的推导类似于例1的推导，由条件概率公式及全概率公式即可得，初学者也很容易接受.贝叶斯公式由英国数学家托马斯·贝叶斯（1702—1761）提出，他生前是受人尊重的牧师，自学成才的数学家，在数学方面主要研究概率论.他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，创立了贝叶斯统计理论，对统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献[6].他的著作有《论机会学说问题的求解》（1763）和《机会的学说概论》（1758）.历史上有些数学家虽然名气不大，著作很少，但影响深刻，贝叶斯就是这样一个典型的代表人物[3].
三、贝叶斯公式的应用
（一）典型例题
例2 《三国演义》中有个著名的故事是“诸葛亮挥泪斩马谡”，原因是“街亭失守”，现在我们来分析马谡要不要承担主要责任.我们主要考虑影响这次街亭之役的三个主要因素：（1）主帅缺少才能，不堪大任;（2）将帅不和，难服人心;（3）敌众我寡，兵力悬殊.哪个可能大，各占多大比例？
通过计算的结果，我们得知“街亭失守”的主要责任在主帅马谡.举这个例子既可以增加课堂教学的趣味性，又可以初步理解贝叶斯公式的意义.
例3 某地居民肝癌发病率为0.003，采用甲胎蛋白法进行普查，患者对这种检查结果呈阳性的概率为0.94，而未患肝癌的被检查者呈阳性的概率是0.05，现有一批人甲胎蛋白检查结果呈阳性，问此批人是肝癌患者的概率有多大？[3，4]
接下来我们进一步分析本题结果的意义.这一地区的普通人群肝癌发病率是0.003;患者对甲胎蛋白测试结果呈阳性的概率为0.94，不是100%，这说明这种检查对患者存在漏诊;未患病的检查者对甲胎蛋白测试结果是阳性的概率为0.05，说明这种检查存在误诊情况.那么这种甲胎蛋白检查对于诊断被检查者是否患有肝癌有无意义呢？如果不做這种检查，抽查一人，他是患者的概率P（C）=0.003（先验概率），这是检查前根据临床资料统计而得出的.检查出现阳性反应后，此人是患者的概率为P（C|A）=0.0535（后验概率），概率增加了约18倍.也就是说这个人从普通人群上升为“疑似”人群，这说明这种检查很重要，很有意义.另一方面，检查出甲胎蛋白结果是阳性来判断病人是否患肝癌，它的准确率是很低的，因为P（C|A）=0.0535，也就是说100个人检查是阳性，约5人是肝癌患者，即使某人检出阳性，也不能过早下结论此人患有肝癌.这和我们的直觉不一样！原因是P（A|C）=0.94，P（C|A）=0.0535这两者均为条件概率，但区别很大.前者是正向概率，原因导致结果的概率;而后者是逆向概率，由结果推原因的概率.那么为什么这个结论和我们的直觉相差这么大呢？是因为先验概率P（C）=0.003的值比较小，在贝叶斯公式计算中，分子作为分母的一部分所占的权重低，所以最终后验概率数值不大.本题中抽查一个人是阳性，虽然不一定是患者，但此人从普通人群也上升到“疑似”人群了，接下来该怎么办呢？复查！这时先验概率已更新为P（C）=0.0535，则P（C-）=1-0.0535=0.9465，运用贝叶斯公式可得
这个概率值比较大了，可以说此人是“高度疑似”病患了.如果第三次复查结果仍为阳性，先验概率再一次更新为P（C）=0.5152，再次运用贝叶斯公式可得
这个概率值已经很大了，可以说此人基本确诊.而事实上先验概率为0.3时，后验概率值就接近0.9了，几乎可以确定是患病了，需要赶快治疗.通常医生总是先采取一些其他简单易行的辅助方法进行检验，当他怀疑病人有可能患有肝癌时，才建议用甲胎蛋白法检验，这时，如果病人出现阳性结果，那么他患病的可能性就很高了. 举这个例子的作用可以让学生理解先验概率和后验概率的意义以及深刻地理解贝叶斯公式的核心本质.
（二）引例中“天蝎号”的搜救原理
在茫茫大海中尋找失联的船艇，确实很困难，因为在船艇发生爆炸时，人们不知道它当时航行的速度、行驶方向、爆炸冲击力的大小、潜艇的方向舵的指向、海水的冲击力等等.Craven召集了数学、潜艇、海事搜救等各领域的专家，让他们根据自己的知识与经验对于情况向哪一个方向发展进行猜测，并评估每种情况出现的可能性.Craven综合各方面的信息，绘制了一张20英里海域内的概率图，把整个海域分成许多小格子海域，每个小格子需要考虑两个概率值[7]：船艇在一个格子里的概率是p，在小格子里且被搜到的概率是q.当在一个小格子里没有搜救到船艇时，按照贝叶斯公式，船艇还在这个格子的概率是p1=p（1-q）（1-p） p（1-q）=p（1-q）1-pq