细析错因 有效补救

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  在《圆柱与圆锥》这一单元的单元测试中,有这样的一道题:一个圆柱形铁块的底面半径3厘米,高10厘米,将其铸成圆锥形零件,这个零件的体积是多少立方厘米?结果有60%左右的学生做错,而且错误的方法惊人的一致:V=■×3.14×32×10。对此教师作了针对性的评讲。无独有偶,在其后不久的期中测试中,又出现了一道与其类似的题目:一个圆柱形容器,底面半径10厘米,里面放一些水,将一个圆柱形铁块放入其中(水没有溢出,铁块完全浸没),水面上升3厘米,求铁块的体积。这道题与上述试题难度一致,都属于体积变形,结果仍有40%的学生出现差错,原因仍是多乘了。在了解学生错误的原因时,学生说:“老师强调,要求圆锥的体积,不能忘记■,而题中要求圆锥的体积,所以我们都习惯性地乘■了。”面对学生的错因,让我明白错误的根源在于课堂,那么日常教学中到底出现了怎样的弊端呢?反思这部分内容的教学,笔者觉得主要存在以下几个问题:
  首先,训练以模仿为主,缺乏必要的变式,导致学生只掌握了知识的外壳,而忽略了数学的本质。学生能够运用圆锥的体积公式V=■sh进行体积计算,主要得益于教师的反复强调与强化练习。教学中,尤其是学生掌握了圆锥体积公式之后的练习,仍然是围绕“已知圆锥的底面半径(或直径、周长)和高,求圆锥体积”这种基本的题型,强调的是“要求圆锥的体积,不能忘乘■”,而没有能及时地作变式训练。这种反复的、大量的、机械的强化训练,致使学生一看到求圆锥体积,就条件反射地乘■或除以3,因而一再地出现上述错误,就不足为奇了。
  其次,思维如同单行线,缺乏必要的对比,导致学生只能顺向而行,不能把握题目内涵。对于V=■sh这一公式的推导,教师在教学中花费了大量时间,进行了充分探索,学生也是学得透彻,因而运用这种方法计算圆锥的体积,在学生脑海中确立了牢固的地位。但这仅仅是圆锥体积计算的一个方法,还有其他方法教师未能涉及,即使在学生出现错误之后,教师的评讲也是局限于“就题论题”,没有对圆柱和圆锥的体积计算方法作有效的、针对性对比,致使学生的思维如同单行线,只会依据公式求圆锥体积,不能够分析、把握题目的内涵。
  问题的结症找到了,那么如何避免这样的错误呢?我觉得在学生熟练掌握圆锥体积计算方法后,有必要作针对性的补救。我设计的教学是:
  一、 在实践中感悟
  1.出示一些不规则的石块,提问:怎样才能测出这些石块的体积?(由于学生在学习《长方体与正方体》这一单元时,已经有了基础,很容易想到:可以将石块放入盛有水的量杯中,看水上升的体积)
  2.如果将石块改成圆锥,上升的体积还等于圆锥的体积吗?
  3.将量杯换成圆柱形容器,想一想,如何利用这个已经告诉我们底面半径的容器来测量圆锥的体积呢?将圆锥放入水中,在完全浸没的情况下,上升的这一段水柱的体积与圆锥的体积有怎样的关系?如果此时要求圆锥的体积,实际是求什么的体积?为什么不需要乘■呢?
  4.学生实际操作实践。
  【设计意图:“数学教学,实际是数学活动的教学。”这一环节的设计,主要是让学生直观感受圆锥的体积等于上升的水柱的体积,而如果容器为圆柱形,则上升的这一段水柱也为圆柱,要求圆锥体积,在这里其实就是求上升的这一段圆柱形水柱的体积,故无需乘■。】
  二、 在对比中提升
  在上述实践的基础上,设计以下的三组对比题:
  第一组:
  1.一个圆柱形容器,底面半径3厘米,在里面放一些水,再放入一个圆锥形铁块(完全浸没),水面上升2厘米。求圆锥形铁块的体积。
  2. 一个圆柱形容器,底面半径3厘米,在里面放一些水,再放入一个底面半径2厘米,高3厘米的圆锥形铁块(完全浸没),求圆锥的体积。
  3. 一个圆柱形容器,底面半径3厘米,在里面放一些水,水深3厘米再放入一个圆锥形铁块(完全浸没),这时水深5厘米。求圆锥的体积。
  第二组:
  1.一个圆柱形铁块的底面半径3厘米,高10厘米,将其铸成圆锥形零件,这个零件的体积是多少立方厘米?
  2.一个圆柱形铁块正好可以熔铸成底面半径3厘米,高10厘米的圆锥形零件,这个零件的体积是多少立方厘米?
  第三组:
  1. 一个圆柱形容器,底面半径6厘米,在里面放一些水,再放入一个圆锥形铁块(完全浸没),水面上升2厘米。已知圆锥的底面半径2厘米,求圆锥的高。
  2.一个圆柱形铁块的半径4厘米,高6厘米,将其铸成底面半径3厘米的圆锥形零件,求零件的高。
  【设计意图:乌申斯基曾说:“比较方法是各种认识和各种思维的基础。”小学生在每一课的学习中所获得的知识常常是局部的、分散的,会有“见叶不见枝、见木不见林”的现象,需要通过比较,来理解知识的内在联系与区别。在这一环节中,教师设计了三组比较题组,从而进一步把握相关知识的本质,建构起合理的认知结构,促进思维能力的发展。】
  三、 在反思中完善
  由刚才的实践以及对比训练,你觉得要求圆锥的体积,是不是一定要乘■?那么在什么情况下要乘■,在什么情况下不需要呢?(引导学生得出:在告诉我们圆锥的底面半径与高的情况下,求圆锥的体积,就需要乘■。)
  【设计意图:在实践操作以及比较训练的基础上,引导学生自我反思总结,归纳出具有更高抽象性、概括性、包容性的认识,形成活化的知识组块,检查自我数学认知结构,融会贯通并有序储存,从而优化认知结构。】
  在运用了上述的补救措施后,学生几乎没有再犯类似的错误。而通过对上述错例的分析与反思,也给我们一定的启示。
  1.科学设计练习,把握数学思想。数学教学中一定量的练习是必要的,但练习不是单纯的题目堆砌,更不能一成不变,要注意量与度的平衡,否则适得其反。教师要重视对练习题型的重组与变式,把握其中蕴含的数学方法,巧妙地将转化、模型等数学思想有意识地渗透于学习过程中,使学生解一题,会一类;同时,当学生出现典型的“通病”时,要仔细分析错因,采取针对性措施,而不是就题论题。只有在科学合理训练的基础上,学生才能掌握更多的思维机制和数学思想,教学才能高屋建瓴。
  2.重视解题反思,完善解题思路。我国著名数学家华罗庚在总结他的学习经历时指出:“对书本中的原理、定量公式,我们不仅要记住它的结论,而且还要设想一下人家是怎样想出来的,只有经历了这样的探索过程,数学的思想方法才能凝聚在这些结论上,从而使知识具有更大的智慧。”因而教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动,如反思我是怎样解决问题的,走了哪些弯路,运用哪些方法,有哪些易错之处,记住怎样的教训等等。只有这样,才能促使学生真正理解和掌握,才能完善自我的解题思路。
  学生在学习过程中出现错误是在所难免的,尤其是当学生出现典型的、普遍性的错误时,我们不能总是责怪学生没有仔细认真,而要反思自己的教学过程,采取针对性的补救策略。
  【责任编辑:陈国庆】
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