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近期，贵刊连续刊登了张奠宙教授、戎松魁老师和马建平老师的文章，其中均涉及对数学概念定义方式的不同理解。对此，笔者也谈些粗浅的感受。
众所周知，数学概念是建立数学知识体系的基本要素，是数学判断、推理的基础，是培养学生数学能力和发展智力的起点。因此，概念教学历来是数学教学的重点内容之一。
就小学生而言，对数学概念的理解水平既是数学素养的基本体现，更关系到掌握数学知识的基础是否扎实。但是，鉴于小学生的知识基础和思维能力，小学课本对于许多数学概念并没有给出符合逻辑学要求的严格定义，但这并不意味着概念的呈现可以“生活化”，可以随心所欲，而同样应该体现数学的特性、数学的魅力。这种“数学的熏陶”能从小就给学生以逻辑的严谨性感受，这是其他学科所难以替代的。
数学概念的定义方式是多样的，在初等数学中用得最多的是属加种差定义。这是因为我们认识客观世界大多遵循从已知到未知，用已知解释未知，进而把未知变为已知的往复循环、逐步深入的过程。而属加种差的定义概念方式是对数学知识形成过程最好的诠释。另一方面，在同一数学知识体系中总会有一系列概念属于同一类型，例如，四边形→平行四边形→矩形、菱形→正方形等。这些概念之间的外延存在包含关系，称之为属种关系。即前面的概念是后面概念的属概念、后面的概念是前面概念的种概念。因而，利用已知的属概念和其他已知的可用来表述种差的有关概念来解释未知的种概念便成为可能。
例如，“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”这一定义表明，矩形是一种平行四边形，它和其他平行四边形的区别是“有一个角是直角”。
一般而言，在属加种差定义中指明了两点：①指出了一个更一般的概念（属概念），被定义的概念则是它的特例；②指出了被定义概念从属概念中划分出来所依据的属性（种差）。因而，属加种差定义可用公式表示为：属概念 种差=被定义概念。
基于上述理解，笔者认为对数学概念（即使是小学数学教学中的有关概念）下定义应该注意以下几个方面。
一、用属加种差的方式给概念下定义应选取与被定义的概念最邻近的属概念
如给“矩形”下定义，先要找到它的属概念。众所周知，平行四边形和四边形都可以作为矩形的属概念，但平行四边形是与矩形更邻近的属。在平行四边形这个属里，除了包含矩形这个种外，还包含其他种，所以还需要进一步找出矩形所具有的、区别于其他种的本质属性 （ 即种差） 。显然，“一个角是直角”是矩形最简单的一个种差。于是就有了“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”的定义。当然，“属概念一般应该与被定义概念是最邻近的”意味着也可以从较“远”的属概念出发定义，但这就导致需要更多的种差来区分不同的种概念。如作为矩形属概念的四边形，由于其外延更大，平行四边形、梯形等都是其种概念，因而，要区别于更多的其他种概念，从四边形出发定义矩形就需要找更多的种差，如“直角”就需要从一个增加到三个。由此不难理解，属概念与被定义的概念越邻近，种差就越简单。
由此可知，首先，从最邻近的属概念出发定义种概念可以最完美地体现数学知识的逻辑结构，更易使知识系统化。其次，根据学生的接受能力，在已知概念的基础上增加最少的知识所形成的新的概念在理解和掌握上会更容易些，会更有利于形成合理的认知结构。再次，用与被定义概念最邻近的属概念定义，使新概念有一个良好的归属，有利于概念的分类。试想，直接从四边形出发定义矩形，对四边形和特殊四边形的分类将出现何等尴尬的现象？
所以，用属加种差方式定义数学概念尽量不要越级选取属概念。
二、数学概念下定义要严谨
首先，不能用对生活常识概念的理解方式去理解数学概念。即一个数学概念的定义在顾及学生能够理解的同时，也应该考虑其严谨性。那种“我的课堂我做主”的随意性在这里是要不得的。例如，将汉语词典中的一些名词解释作为数学概念的定义就不是研究学问的好方法。
其次，给数学概念下定义必须简明。就是说，定义中不能包含可以互相经过推理而得出的属性。“种差”少了，无法刻画这个概念准确的内涵（导致外延扩大），当然不行；而多了同样不行，即使不矛盾也是累赘而不够简洁。因而，“种差不多也不少”也是下定义的基本要求。例如，将矩形定义为“四个角是直角的四边形”显然不够简明，因为用“有三个角是直角”这个“种差”就可以了。
三、定义数学概念既要尊重学生现实又要体现数学特性
众所周知，数学概念的定义是人为的，如同我们熟知的欧氏几何是从平行公理（过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）作为起点之一，定义几何概念，形成欧氏几何体系；而非欧几何又是从各自的平行公理（过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行和过直线外一点没有一条直线与已知直线平行）作为重要的出发点之一而形成了以“三角形内角和大于（小于）180°”为显著特征的非欧几何学体系。但是，数学教学中的数学概念还是按教材中给出的定义教学为好，因为教材相对较好地体现了数学知识体系的递进关系和儿童学习数学的渐进程序。像“矩形”这种长期以来已被大家所认可并且在教材中固定下来的定义，我们就不必再去重新定义了。
“矩形”在小学阶段没有下定义，它的定义出现在初中教材中。小学教学中是通过揭示长方形的主要内涵：“四条边，对边长相等；四个角，都是直角” 等来描述，这便于学生对长方形概念的理解与运用，但它不是数学意义上的长方形定义。所以，说到长方形（矩形）的定义，还是以与初中教材相衔接为好。
另外，即使找到与被定义概念最邻近的属概念，但由于种差有时是不唯一的，这会导致用属加种差方式所做出的定义也不唯一。例如，若用“两条对角线相等”做种差，矩形的定义就成为这样：“两条对角线相等的平行四边形叫做矩形。”可以证明这个定义与“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”是等价的，但在小学教学中还是选择有利于学生理解又不失数学的严谨性的“一个角是直角”作为“种差”为好。
由张奠宙教授主编的《中学教学全书数学卷》（上海教育出版社1995年出版）第184页上给出了这样的定义：“[矩形] 也称‘长方形’。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。”这是完全符合给概念下定义规则的最合适的矩形定义。中学教材中使用的也是这个定义。
（浙江绍兴文理学院上虞分院 312300）
众所周知，数学概念是建立数学知识体系的基本要素，是数学判断、推理的基础，是培养学生数学能力和发展智力的起点。因此，概念教学历来是数学教学的重点内容之一。
就小学生而言，对数学概念的理解水平既是数学素养的基本体现，更关系到掌握数学知识的基础是否扎实。但是，鉴于小学生的知识基础和思维能力，小学课本对于许多数学概念并没有给出符合逻辑学要求的严格定义，但这并不意味着概念的呈现可以“生活化”，可以随心所欲，而同样应该体现数学的特性、数学的魅力。这种“数学的熏陶”能从小就给学生以逻辑的严谨性感受，这是其他学科所难以替代的。
数学概念的定义方式是多样的，在初等数学中用得最多的是属加种差定义。这是因为我们认识客观世界大多遵循从已知到未知，用已知解释未知，进而把未知变为已知的往复循环、逐步深入的过程。而属加种差的定义概念方式是对数学知识形成过程最好的诠释。另一方面，在同一数学知识体系中总会有一系列概念属于同一类型，例如，四边形→平行四边形→矩形、菱形→正方形等。这些概念之间的外延存在包含关系，称之为属种关系。即前面的概念是后面概念的属概念、后面的概念是前面概念的种概念。因而，利用已知的属概念和其他已知的可用来表述种差的有关概念来解释未知的种概念便成为可能。
例如，“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”这一定义表明，矩形是一种平行四边形，它和其他平行四边形的区别是“有一个角是直角”。
一般而言，在属加种差定义中指明了两点：①指出了一个更一般的概念（属概念），被定义的概念则是它的特例；②指出了被定义概念从属概念中划分出来所依据的属性（种差）。因而，属加种差定义可用公式表示为：属概念 种差=被定义概念。
基于上述理解，笔者认为对数学概念（即使是小学数学教学中的有关概念）下定义应该注意以下几个方面。
一、用属加种差的方式给概念下定义应选取与被定义的概念最邻近的属概念
如给“矩形”下定义，先要找到它的属概念。众所周知，平行四边形和四边形都可以作为矩形的属概念，但平行四边形是与矩形更邻近的属。在平行四边形这个属里，除了包含矩形这个种外，还包含其他种，所以还需要进一步找出矩形所具有的、区别于其他种的本质属性 （ 即种差） 。显然，“一个角是直角”是矩形最简单的一个种差。于是就有了“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”的定义。当然，“属概念一般应该与被定义概念是最邻近的”意味着也可以从较“远”的属概念出发定义，但这就导致需要更多的种差来区分不同的种概念。如作为矩形属概念的四边形，由于其外延更大，平行四边形、梯形等都是其种概念，因而，要区别于更多的其他种概念，从四边形出发定义矩形就需要找更多的种差，如“直角”就需要从一个增加到三个。由此不难理解，属概念与被定义的概念越邻近，种差就越简单。
由此可知，首先，从最邻近的属概念出发定义种概念可以最完美地体现数学知识的逻辑结构，更易使知识系统化。其次，根据学生的接受能力，在已知概念的基础上增加最少的知识所形成的新的概念在理解和掌握上会更容易些，会更有利于形成合理的认知结构。再次，用与被定义概念最邻近的属概念定义，使新概念有一个良好的归属，有利于概念的分类。试想，直接从四边形出发定义矩形，对四边形和特殊四边形的分类将出现何等尴尬的现象？
所以，用属加种差方式定义数学概念尽量不要越级选取属概念。
二、数学概念下定义要严谨
首先，不能用对生活常识概念的理解方式去理解数学概念。即一个数学概念的定义在顾及学生能够理解的同时，也应该考虑其严谨性。那种“我的课堂我做主”的随意性在这里是要不得的。例如，将汉语词典中的一些名词解释作为数学概念的定义就不是研究学问的好方法。
其次，给数学概念下定义必须简明。就是说，定义中不能包含可以互相经过推理而得出的属性。“种差”少了，无法刻画这个概念准确的内涵（导致外延扩大），当然不行；而多了同样不行，即使不矛盾也是累赘而不够简洁。因而，“种差不多也不少”也是下定义的基本要求。例如，将矩形定义为“四个角是直角的四边形”显然不够简明，因为用“有三个角是直角”这个“种差”就可以了。
三、定义数学概念既要尊重学生现实又要体现数学特性
众所周知，数学概念的定义是人为的，如同我们熟知的欧氏几何是从平行公理（过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）作为起点之一，定义几何概念，形成欧氏几何体系；而非欧几何又是从各自的平行公理（过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行和过直线外一点没有一条直线与已知直线平行）作为重要的出发点之一而形成了以“三角形内角和大于（小于）180°”为显著特征的非欧几何学体系。但是，数学教学中的数学概念还是按教材中给出的定义教学为好，因为教材相对较好地体现了数学知识体系的递进关系和儿童学习数学的渐进程序。像“矩形”这种长期以来已被大家所认可并且在教材中固定下来的定义，我们就不必再去重新定义了。
“矩形”在小学阶段没有下定义，它的定义出现在初中教材中。小学教学中是通过揭示长方形的主要内涵：“四条边，对边长相等；四个角，都是直角” 等来描述，这便于学生对长方形概念的理解与运用，但它不是数学意义上的长方形定义。所以，说到长方形（矩形）的定义，还是以与初中教材相衔接为好。
另外，即使找到与被定义概念最邻近的属概念，但由于种差有时是不唯一的，这会导致用属加种差方式所做出的定义也不唯一。例如，若用“两条对角线相等”做种差，矩形的定义就成为这样：“两条对角线相等的平行四边形叫做矩形。”可以证明这个定义与“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”是等价的，但在小学教学中还是选择有利于学生理解又不失数学的严谨性的“一个角是直角”作为“种差”为好。
由张奠宙教授主编的《中学教学全书数学卷》（上海教育出版社1995年出版）第184页上给出了这样的定义：“[矩形] 也称‘长方形’。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。”这是完全符合给概念下定义规则的最合适的矩形定义。中学教材中使用的也是这个定义。
（浙江绍兴文理学院上虞分院 312300）