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学生解决问题的思维过程，就是首先将数学问题重新表征，然后确定解题思路，进而执行解题方案。多项研究表明：要能正确解决问题，问题表征能力和问题表征质量是数学问题解决的重要因素。关于表征数学问题的方法，不少教育工作者总结颇多，如分析法、综合法、线段图法、示意图法、列表法……有的方法倾向于运用数字语言来表征数学问题，有的方法则倾向于数形结合表征数学问题。
小学生以具体形象思维为主，并逐步向抽象逻辑思维过渡，运用线段图表征数学问题，有利于直观构造数学模型，有利于数量关系明朗化。那么小学阶段如何在表征数学问题过程中构造线段图，以利于解决问题？笔者以分数应用题为例，就学生画线段图时存在的问题进行分析，探讨运用线段图重新表征数学问题的教学策略（本文所指的问题解决具体指反映数量关系的应用题）。
一、运用“形”表征数学问题中学习障碍
小学生在解决数学问题中常用画图（画示意图、画线段图等）的方法表征问题，解决问题。尽管图的直观能辅助学生理解数学问题，但如何由文字符号转换为操作符号、图形符号，学生存在不少障碍，下面以一道分数应用题教学为例，探讨学生运用线段图表征问题的障碍。
数学问题：小明的体重是35kg，小明体重比爸爸轻，爸爸体重是多少千克？
学生画图错例如图1、图2。
分数应用题的数量关系的本质是整数应用题中倍数关系的延伸。由此，分数应用题的特点是题目中呈现两个相关联的数量，以及反映这两个数量之间关系的分率句，如 “小明体重比爸爸轻”，在小学数学教学中常被称为分率句。
图1错误在于学生只把已知信息呈现在线段图上，要求的问题没有在线段图上呈现。一个良好的数学问题包含有不同的数量，既有已知数量，也有未知数量，分析数学问题的最终目的是寻找如何由已知数量达到未知数量的数学路径。运用线段图把相关“数量”与“形”建立对应关系，不同数量用不同线段表示，运用“形”的直观寻找已知数量与未知数量之间的关系，从而转化成数学模型解决问题。而图1线段图由于缺少了未知数量，数量关系存在多样性和不确定性，未能真正运用“形”解决问题。
图2 学生作图时把小明体重看做两量比较的标准（分数应用题教学中习惯将比较标准称为“单位1”），且把“小明体重比爸爸轻”转化为“爸爸体重比小明重”。根据对学生访谈中获知，学生作图时是根据阅读的顺序逐一将已知信息呈现，并且受到两数量相差关系的负迁移，简单地将分率句进行转化。殊不知比较两量倍或比率关系时，当比较标准变了，比较的倍或比率也会变。如黄花是红花的3倍，则红花是黄花的；小明体重比爸爸轻，则爸爸体重比小明重。由此可见，比较的标准变了，与之比较的另一数量的关系也会随着变化。更深层看待学生的错误转化问题，究其原因，学生未能掌握两数量关于相差和倍比关系的联系与区别。在两数量的比较时，先确定比较的标准，以标准确定另一数量与之关系，因此在作图时，首先画出比较的标准量，然后再画出与标准比较的另一数量。由此可见，图2反映出学生未掌握两数量比较相差关系和倍率的数学模型。
二、以 “形”直观表征数学问题的教学策略
如何让学生借助线段图“形”的直观表征数学问题？我们知道，线段图能将数量模型无关的情境、信息排除在外，运用线段图表征数学问题是沟通数学问题与已有数学模型的中介桥梁，使数量之间关系更直观、更明确地呈现，那么，学生根据数学问题怎样构造线段图？怎样让学生积累从文字符号到图形符号的转化经验？
1. 掌握线段图的基本构造元素
线段图是以线段呈现数学问题中的数量，因此首先让学生认识构造线段图的基本元素。
“”表示数量反映在线段上的起点与终点。
“ ？”表示未知数量。
不同长度的线段表示大小不同的量。
长度相等的线段表示同样多的两个或两个以上的数量。
2. 理解和掌握线段图两种基本形式的画法
马芯兰将小学阶段主要数量关系整理归结为两类：整体与部分关系的数量形式、比较的数量关系。 当反映部分与整体的数量关系时用单线式线段图表示，如数学问题：水果店运来苹果和雪梨，苹果有3筐，每筐25kg，雪梨有4筐共重80千克，画图如图3。
当反映比较的数量关系（如相差关系、倍比关系）时用多线式线段图表示，如数学问题：水果店运来苹果和雪梨，运来苹果25kg，运来雪梨重量比苹果的4倍少15kg，雪梨多少千克？画图如图4。
无论单线式线段图还是多线式线段图，首先应确定数学问题中呈现了哪些数量，其次是每一个数量是怎样产生关系的。如图3，数学问题呈现了苹果重量和雪梨重量两个数量，苹果重量则是每筐25kg，有3筐；雪梨有4筐，每筐重20kg。若数学问题中呈现的两个数量是比较关系的，如图4，则先抓反映两量比较关系的句子，找出以哪一数量为比较的标准，然后画出标准量的线段，再画出与之比较的数量。尽管上面两道数学问题都呈现苹果与雪梨两个数量，但两个数量关系不相同，前者反映苹果、雪梨各个部分与总数之间的数量关系，用单式线段图，后者反映苹果、雪梨两部分之间的比较关系，用多线式线段图。
理解和掌握线段图的两种形式的画法，有利于帮助学生辨析数学模型，进而更好地理解数学模型。
三、运用线段图表征数学问题的作用
为什么运用线段图表征数学问题有利于学生解决问题？关键在于小学生的年龄特点和认知特点，需要借助直观形象的材料寻找抽象的数量关系。
1. 数量关系明朗化
线段图将无关的背景及信息摒除在外，有利于将数量关系明朗化。如线段图3中，通过线段图能直接看出雪梨共80千克，而雪梨有4筐属多余信息，那么解决苹果和雪梨总重量就是将两部分重量合起来就行了，数量关系一目了然。
2. 解题思路明晰化
运用线段图分析数学问题主要将数学问题中“数量”与线段图的“线段”一一对应，抽象的数量关系直观等价地反映在线段图中，学生能运用线段图寻找已知信息与未知信息之间的关系，有利于明确解题的思路。如图4，求雪梨重量就是苹果重量的4倍再少15千克即可。又如案例中数学问题：小明的体重是35kg，小明体重比爸爸轻，爸爸体重是多少千克？画图如图5。
由图中可知，小明体重是爸爸体重的（1-），即35千克对应的比率是，也鼓励学生画图如图6。
即：把一些原本未知的信息通过合理的推理或联想画在线段图上，促使解题思路更明晰。
运用线段图表征数学问题是借“形”构造数量关系，是数形结合思想的体现。在日常教学中教师应充分挖掘线段图的价值，鼓励学生运用线段图建构数量关系，培养学生数形转换的意识，为提高学生的思维能力和分析解题能力打下基础。
责任编辑 罗 峰
小学生以具体形象思维为主，并逐步向抽象逻辑思维过渡，运用线段图表征数学问题，有利于直观构造数学模型，有利于数量关系明朗化。那么小学阶段如何在表征数学问题过程中构造线段图，以利于解决问题？笔者以分数应用题为例，就学生画线段图时存在的问题进行分析，探讨运用线段图重新表征数学问题的教学策略（本文所指的问题解决具体指反映数量关系的应用题）。
一、运用“形”表征数学问题中学习障碍
小学生在解决数学问题中常用画图（画示意图、画线段图等）的方法表征问题，解决问题。尽管图的直观能辅助学生理解数学问题，但如何由文字符号转换为操作符号、图形符号，学生存在不少障碍，下面以一道分数应用题教学为例，探讨学生运用线段图表征问题的障碍。
数学问题：小明的体重是35kg，小明体重比爸爸轻，爸爸体重是多少千克？
学生画图错例如图1、图2。
分数应用题的数量关系的本质是整数应用题中倍数关系的延伸。由此，分数应用题的特点是题目中呈现两个相关联的数量，以及反映这两个数量之间关系的分率句，如 “小明体重比爸爸轻”，在小学数学教学中常被称为分率句。
图1错误在于学生只把已知信息呈现在线段图上，要求的问题没有在线段图上呈现。一个良好的数学问题包含有不同的数量，既有已知数量，也有未知数量，分析数学问题的最终目的是寻找如何由已知数量达到未知数量的数学路径。运用线段图把相关“数量”与“形”建立对应关系，不同数量用不同线段表示，运用“形”的直观寻找已知数量与未知数量之间的关系，从而转化成数学模型解决问题。而图1线段图由于缺少了未知数量，数量关系存在多样性和不确定性，未能真正运用“形”解决问题。
图2 学生作图时把小明体重看做两量比较的标准（分数应用题教学中习惯将比较标准称为“单位1”），且把“小明体重比爸爸轻”转化为“爸爸体重比小明重”。根据对学生访谈中获知，学生作图时是根据阅读的顺序逐一将已知信息呈现，并且受到两数量相差关系的负迁移，简单地将分率句进行转化。殊不知比较两量倍或比率关系时，当比较标准变了，比较的倍或比率也会变。如黄花是红花的3倍，则红花是黄花的；小明体重比爸爸轻，则爸爸体重比小明重。由此可见，比较的标准变了，与之比较的另一数量的关系也会随着变化。更深层看待学生的错误转化问题，究其原因，学生未能掌握两数量关于相差和倍比关系的联系与区别。在两数量的比较时，先确定比较的标准，以标准确定另一数量与之关系，因此在作图时，首先画出比较的标准量，然后再画出与标准比较的另一数量。由此可见，图2反映出学生未掌握两数量比较相差关系和倍率的数学模型。
二、以 “形”直观表征数学问题的教学策略
如何让学生借助线段图“形”的直观表征数学问题？我们知道，线段图能将数量模型无关的情境、信息排除在外，运用线段图表征数学问题是沟通数学问题与已有数学模型的中介桥梁，使数量之间关系更直观、更明确地呈现，那么，学生根据数学问题怎样构造线段图？怎样让学生积累从文字符号到图形符号的转化经验？
1. 掌握线段图的基本构造元素
线段图是以线段呈现数学问题中的数量，因此首先让学生认识构造线段图的基本元素。
“”表示数量反映在线段上的起点与终点。
“ ？”表示未知数量。
不同长度的线段表示大小不同的量。
长度相等的线段表示同样多的两个或两个以上的数量。
2. 理解和掌握线段图两种基本形式的画法
马芯兰将小学阶段主要数量关系整理归结为两类：整体与部分关系的数量形式、比较的数量关系。 当反映部分与整体的数量关系时用单线式线段图表示，如数学问题：水果店运来苹果和雪梨，苹果有3筐，每筐25kg，雪梨有4筐共重80千克，画图如图3。
当反映比较的数量关系（如相差关系、倍比关系）时用多线式线段图表示，如数学问题：水果店运来苹果和雪梨，运来苹果25kg，运来雪梨重量比苹果的4倍少15kg，雪梨多少千克？画图如图4。
无论单线式线段图还是多线式线段图，首先应确定数学问题中呈现了哪些数量，其次是每一个数量是怎样产生关系的。如图3，数学问题呈现了苹果重量和雪梨重量两个数量，苹果重量则是每筐25kg，有3筐；雪梨有4筐，每筐重20kg。若数学问题中呈现的两个数量是比较关系的，如图4，则先抓反映两量比较关系的句子，找出以哪一数量为比较的标准，然后画出标准量的线段，再画出与之比较的数量。尽管上面两道数学问题都呈现苹果与雪梨两个数量，但两个数量关系不相同，前者反映苹果、雪梨各个部分与总数之间的数量关系，用单式线段图，后者反映苹果、雪梨两部分之间的比较关系，用多线式线段图。
理解和掌握线段图的两种形式的画法，有利于帮助学生辨析数学模型，进而更好地理解数学模型。
三、运用线段图表征数学问题的作用
为什么运用线段图表征数学问题有利于学生解决问题？关键在于小学生的年龄特点和认知特点，需要借助直观形象的材料寻找抽象的数量关系。
1. 数量关系明朗化
线段图将无关的背景及信息摒除在外，有利于将数量关系明朗化。如线段图3中，通过线段图能直接看出雪梨共80千克，而雪梨有4筐属多余信息，那么解决苹果和雪梨总重量就是将两部分重量合起来就行了，数量关系一目了然。
2. 解题思路明晰化
运用线段图分析数学问题主要将数学问题中“数量”与线段图的“线段”一一对应，抽象的数量关系直观等价地反映在线段图中，学生能运用线段图寻找已知信息与未知信息之间的关系，有利于明确解题的思路。如图4，求雪梨重量就是苹果重量的4倍再少15千克即可。又如案例中数学问题：小明的体重是35kg，小明体重比爸爸轻，爸爸体重是多少千克？画图如图5。
由图中可知，小明体重是爸爸体重的（1-），即35千克对应的比率是，也鼓励学生画图如图6。
即：把一些原本未知的信息通过合理的推理或联想画在线段图上，促使解题思路更明晰。
运用线段图表征数学问题是借“形”构造数量关系，是数形结合思想的体现。在日常教学中教师应充分挖掘线段图的价值，鼓励学生运用线段图建构数量关系，培养学生数形转换的意识，为提高学生的思维能力和分析解题能力打下基础。
责任编辑 罗 峰