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[摘 要]在“全景式数学教育”理念的支持下，采用大模块、低结构的组织教学方式，让学生围绕“爷爷用栅栏围了一个小菜园”这一个核心事件进行追问和想象。学生通过18次的主动追问，不但还原了该情境涉及的各种实际背景内容，还独立完成了各种背景下相应的解决方案，把一道题做成了一个“如何圈地”的项目。用精彩的过程演绎了全景式数学教育是如何教育学生思考和解决问题，如何培养学生成长为优秀的“屠夫”的。
[关键词]解决问题；追问；长方形和正方形的周长；长方形和正方形的面积
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）17-0004-02
“高分低能”“解决实际问题的能力较弱”一直是很多人对数学教育的诟病。这种现象的形成，除了教育环境、教与学的方式等方面的原因，教材中对“问题”的背景“过于提纯、约束和典型化”也是主要原因之一。
小學数学绝大多数内容属于应用数学范畴。钱伟长的《哥丁根学派的追求》中提到：“应用数学的任务是解决实际问题，不是去完善许多数学方法，我们是以解决实际问题为己任的。从这一观点上讲，我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠。”
目前，现行小学数学教材中的“解决问题”板块普遍存在着以培养“刀匠”为目的的问题——教材为了便于学生理解和集中、高效地学习数学知识，编排的很多内容都过滤掉了所谓“对数学无用”的芜杂信息，涉及的生活内容和实际情境不完整、不全面，和真正、原生态的生活问题相去甚远，使得学生很快理解和掌握了数学知识，成为优秀的“刀匠”，却不善于“解牛”，没有成为优秀的 “屠夫”。
“全景式数学教育”（Panoramic全景，Mathematics数学， Education教育）是一种以培养“全人”为目标，以研究项目为单元，以建设更为全面、完整和跨界的综合性数学课程为核心，进行全景式多样化、自主性学习的一种数学教育方式。其主张“在整个原始森林中发现和研究那一棵树” ，在解决问题的教学中力图完整、全景地还原问题涉及的各种实际背景内容，让学生在完整、原生态的情境中解决问题。力争让学生成为优秀“刀匠”的同时，成长为优秀的“屠夫”！
下面以“一道题”的教学为例，谈谈“全景式数学教育”是如何培养“屠夫”的。
2016年6月底，我给广州番禺区的教师上了一节长时段的“长方形的面积”复习课。这节课就是从学生追问和“完整”该问题的现实背景开始的。课上，学生一口气追问了18个极富思考和研究价值的问题。当时，很多听课的教师都感到十分震撼。显然，好的数学课堂一定不是“只学答，非学问”（ 中国核物理学家、中科院院士杨福家在上海奉贤中学的演讲中提出“只学答，非学问，这是中外教育最大差距”）的课堂，而是学生不断追问的课堂。
这一节课只给出了一道关于：“爷爷用栅栏围了一个小菜园”的题目。
给出情境后，我“点燃”了第一根导火索：“从数学的角度，你要追问什么？”
学生追问：“用了多长的栅栏？”
我公布：“16米。”
学生发表意见：“还要追问‘形’——到底围成了一个什么形状的菜园？”
我激励他们：“你猜！”
学生回答：“圆形、三角形、长方形、正方形、不规则的图形……”至此，学生已经“全景地”想到了各种可能的形状，打破了所学图形的限制。
我“定向”：“爷爷围成的菜园是一个长方形。”
学生追问：“围成的这个菜园的面积是多少？”（我借机把问题补充完整）
学生继续追问：“靠不靠墙？”
我“反击”：“靠不靠墙是从数学角度进行追问吗？”
学生非常坚定：“是！是从数量的角度追问。因为靠墙可以省出栅栏，围更多的面积。”
关于靠墙，学生又给出了4种靠墙的情形：靠1面墙、2 面墙、3面墙和4 面墙。
绝大多数学生否定了靠4面墙的想法：“4面都有墙，就不用围了。”
吴同学提出：“4面都有墙，也可能需要围！”他画出4面墙的情况：
马上有学生接道：“是不是还会有这样的情况……”
关于长度的问题，学生通过分类研究很快达成一致意见：
不靠墙：16米是周长，即长方形的4边之和。
靠墙：16米不是周长。靠1面墙，16米是3边之和；靠2面墙是2边之和；靠3面墙则是1边之长。
学生追问：“各边必须是整米数吗？如果不是整米数就有很多种围法。”
我再次“限定”：“是整米数。”
学生有序地研究：不靠墙时，所有的长方形；靠1面墙时，所有的长方形；靠2面墙时，所有的长方形。
对于靠3面墙，学生又联想到3种情况（栅栏正好够围、栅栏剩余、栅栏不够围）：
这说明学生已经想到平行的两面墙的间距与栅栏的关系。
更让人惊喜的是，吕同学指出：“正好够围的这种情况，围的方法也有无数种。”
大家都不明白她的想法。
她很自信地画图进行说明：“栅栏可以从最里面开始慢慢向外移动，开始贴着墙围的面积是0，往外移一点，围的面积就大一点，一直到最外面，竖着的两面墙越长，围的面积就越大。”
■
有学生提问：“不靠墙围，栅栏能重叠吗？如果重叠，重叠了多少米？”
更让人脑洞大开的是，王同学在后续的研究中又提出：“栅栏可不可以同时在墙的两侧去围？”
有学生质疑：“说了是一个菜园，你这样不成两个菜园了吗？”
王同学反击：“在墙上开一个洞，不就成一个菜园了吗？”
学生的表现让我非常激动，于是我在白板上写道：这哪里是“墙洞大开”啊，分明是“脑洞大开”，只要你敢于畅想，你会发现无数情况，一切皆有可能！
在总结时，我激励学生：“你们真了不起！给出了很多老师都没有想到的情形。你们到六年级将学习和解决围成圆形的问题，到高中你就能解决围成椭圆形的问题，到大学你就能解决围成任意样子的问题（为以后的学习埋种子）。”
这里看起来是一道题，实际上是几十道题、几百道（甚至是无数道题），其实是一个“如何圈地”的项目。测量土地面积本身就是几何产生的源头。学生通过18次的连续追问，想到了各种实际背景，几乎穷尽了圈地问题的所有模型，为未来的学习埋下了种子。
我深信，长期这样学习的学生，一定在扎实掌握基础知识的同时，也具备全面、深刻、创造性地思考和解决问题的能力，一定能成长为核心素养深厚的卓越“屠夫”。
（责编 金 铃）
[关键词]解决问题；追问；长方形和正方形的周长；长方形和正方形的面积
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）17-0004-02
“高分低能”“解决实际问题的能力较弱”一直是很多人对数学教育的诟病。这种现象的形成，除了教育环境、教与学的方式等方面的原因，教材中对“问题”的背景“过于提纯、约束和典型化”也是主要原因之一。
小學数学绝大多数内容属于应用数学范畴。钱伟长的《哥丁根学派的追求》中提到：“应用数学的任务是解决实际问题，不是去完善许多数学方法，我们是以解决实际问题为己任的。从这一观点上讲，我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠。”
目前，现行小学数学教材中的“解决问题”板块普遍存在着以培养“刀匠”为目的的问题——教材为了便于学生理解和集中、高效地学习数学知识，编排的很多内容都过滤掉了所谓“对数学无用”的芜杂信息，涉及的生活内容和实际情境不完整、不全面，和真正、原生态的生活问题相去甚远，使得学生很快理解和掌握了数学知识，成为优秀的“刀匠”，却不善于“解牛”，没有成为优秀的 “屠夫”。
“全景式数学教育”（Panoramic全景，Mathematics数学， Education教育）是一种以培养“全人”为目标，以研究项目为单元，以建设更为全面、完整和跨界的综合性数学课程为核心，进行全景式多样化、自主性学习的一种数学教育方式。其主张“在整个原始森林中发现和研究那一棵树” ，在解决问题的教学中力图完整、全景地还原问题涉及的各种实际背景内容，让学生在完整、原生态的情境中解决问题。力争让学生成为优秀“刀匠”的同时，成长为优秀的“屠夫”！
下面以“一道题”的教学为例，谈谈“全景式数学教育”是如何培养“屠夫”的。
2016年6月底，我给广州番禺区的教师上了一节长时段的“长方形的面积”复习课。这节课就是从学生追问和“完整”该问题的现实背景开始的。课上，学生一口气追问了18个极富思考和研究价值的问题。当时，很多听课的教师都感到十分震撼。显然，好的数学课堂一定不是“只学答，非学问”（ 中国核物理学家、中科院院士杨福家在上海奉贤中学的演讲中提出“只学答，非学问，这是中外教育最大差距”）的课堂，而是学生不断追问的课堂。
这一节课只给出了一道关于：“爷爷用栅栏围了一个小菜园”的题目。
给出情境后，我“点燃”了第一根导火索：“从数学的角度，你要追问什么？”
学生追问：“用了多长的栅栏？”
我公布：“16米。”
学生发表意见：“还要追问‘形’——到底围成了一个什么形状的菜园？”
我激励他们：“你猜！”
学生回答：“圆形、三角形、长方形、正方形、不规则的图形……”至此，学生已经“全景地”想到了各种可能的形状，打破了所学图形的限制。
我“定向”：“爷爷围成的菜园是一个长方形。”
学生追问：“围成的这个菜园的面积是多少？”（我借机把问题补充完整）
学生继续追问：“靠不靠墙？”
我“反击”：“靠不靠墙是从数学角度进行追问吗？”
学生非常坚定：“是！是从数量的角度追问。因为靠墙可以省出栅栏，围更多的面积。”
关于靠墙，学生又给出了4种靠墙的情形：靠1面墙、2 面墙、3面墙和4 面墙。
绝大多数学生否定了靠4面墙的想法：“4面都有墙，就不用围了。”
吴同学提出：“4面都有墙，也可能需要围！”他画出4面墙的情况：
马上有学生接道：“是不是还会有这样的情况……”
关于长度的问题，学生通过分类研究很快达成一致意见：
不靠墙：16米是周长，即长方形的4边之和。
靠墙：16米不是周长。靠1面墙，16米是3边之和；靠2面墙是2边之和；靠3面墙则是1边之长。
学生追问：“各边必须是整米数吗？如果不是整米数就有很多种围法。”
我再次“限定”：“是整米数。”
学生有序地研究：不靠墙时，所有的长方形；靠1面墙时，所有的长方形；靠2面墙时，所有的长方形。
对于靠3面墙，学生又联想到3种情况（栅栏正好够围、栅栏剩余、栅栏不够围）：
这说明学生已经想到平行的两面墙的间距与栅栏的关系。
更让人惊喜的是，吕同学指出：“正好够围的这种情况，围的方法也有无数种。”
大家都不明白她的想法。
她很自信地画图进行说明：“栅栏可以从最里面开始慢慢向外移动，开始贴着墙围的面积是0，往外移一点，围的面积就大一点，一直到最外面，竖着的两面墙越长，围的面积就越大。”
■
有学生提问：“不靠墙围，栅栏能重叠吗？如果重叠，重叠了多少米？”
更让人脑洞大开的是，王同学在后续的研究中又提出：“栅栏可不可以同时在墙的两侧去围？”
有学生质疑：“说了是一个菜园，你这样不成两个菜园了吗？”
王同学反击：“在墙上开一个洞，不就成一个菜园了吗？”
学生的表现让我非常激动，于是我在白板上写道：这哪里是“墙洞大开”啊，分明是“脑洞大开”，只要你敢于畅想，你会发现无数情况，一切皆有可能！
在总结时，我激励学生：“你们真了不起！给出了很多老师都没有想到的情形。你们到六年级将学习和解决围成圆形的问题，到高中你就能解决围成椭圆形的问题，到大学你就能解决围成任意样子的问题（为以后的学习埋种子）。”
这里看起来是一道题，实际上是几十道题、几百道（甚至是无数道题），其实是一个“如何圈地”的项目。测量土地面积本身就是几何产生的源头。学生通过18次的连续追问，想到了各种实际背景，几乎穷尽了圈地问题的所有模型，为未来的学习埋下了种子。
我深信，长期这样学习的学生，一定在扎实掌握基础知识的同时，也具备全面、深刻、创造性地思考和解决问题的能力，一定能成长为核心素养深厚的卓越“屠夫”。
（责编 金 铃）