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【摘 要】以學生为中心的教学范式的转换，需要教师满足学生感到自己是“发现者”“研究者”和“探索者”的心理需求。教师应以学生学习过程中遇到的“问题”和“困难”为前提，设计既可以满足学生以上心理需要，又帮助学生积累隐性知识的数学实验课。好的实验课既要让学生有所“发现”，也要让学生不断“研究”，更要让学生充分“探索”，从而使设计体现出生态性，让隐性知识的教学变得可操作、可把握。
【关键词】数学实验课；倍拼；空间观念；探索
自2001年新课程改革以来，学校教学的范式已经从以往以教师为中心的教学模式，逐步转换成以学生为中心的模式。教师在课堂教学中的角色更多的是引领者、促进者和协助者，课堂学习的主体聚焦在学生。苏霍姆林斯基说过：人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探索者。在儿童的世界中，这种需要特别强烈。但如果不向这种需要提供养料，即不积极接触事实和现象，缺乏认识的乐趣，这种需求就会逐渐消失，求知兴趣也与之一道熄灭。[1]如何在数学课堂教学中，体现以学生为中心，让学生感受和成为学习的主人，需要数学教师有针对性地做好课程设计。数学实验课因其活动“具有具身认知特点”“材料往往是生成性资源”“任务引人入胜”等特点，可以更好地满足学生以上心理需求，又有利于帮助学生发展那些难以清晰表达的，如数学信念、经验、思维、直觉、灵感等“隐性知识”。
本文以几节数学实验课为例，试对数学实验的设计提出思考。
一、设计让学生有所“发现”的实验课
【案例一】
学生在学习数学的过程中，总有一些共性的“难点”“瓶颈”难以突破，比如学习“三角形面积”时，需要学生能将三角形转化为已经学过的图形，用已学过的面积计算方法来解决三角形的面积问题。如果没有教师的引导与介入，学生很难自觉想到用两个同样的三角形拼成一个平行四边形（倍拼）的方法。倍拼的方法并非在学习三角形时才出现，学生之所以迁移的能力不足，与他们缺少“倍拼”的基本活动经验有很大关系。是否有可能设计一节数学实验课，让学生自然而然地发现“倍拼”是帮助解决图形问题的重要方法，从而帮助学生积累这种经验，促进学生有关图形知识的内化与迁移。
带着这样的思考，我们设计了“钉子板上围图形”[2]一课。整节课的教学环节大致如下。
（1）介绍学习工具：钉子板与橡皮筋。钉子板上最靠近的4个“钉”中间的部分，我们称之为“1格”，用橡皮筋在钉子板上可以围出各种图形。它们围出的格子数可以不一样。
（2）呈现已学图形：在钉子板上呈现围好的长方形、正方形、梯形等图形，请学生数一数，各占多少格。
（3）引导猜测与画图：如果在钉子板上围“占2格”的图形，可以围出多少个？并把自己想到的画在方格纸上。
（4）实验操作与交流：围占2格的图形，先在钉子板上围图形，并把围出的图形画下来，再和同伴说一说，这些图形是占2格吗？如何说明？
（5）实验延伸与拓展：围占3格的图形，可以围多少个？你是怎么想的？
在这一案例中，学生最初猜测“钉子板上围占2格的图形，可以围多少个”的时候，多数学生认为可以围2～3种，猜可以围4种或4种以上的学生不足20%。学生最初围出的图形大致如图1所示。
但在相互交流中，学生发现，可以根据格子的累加来“设计”图形，1格 1格，只有长方形，1格 半格 半格，就可以有多种方式了，除了直角三角形、平行四边形、梯形以外，还可以拼成不规则图形（如图2）； 如果是半格 半格 半格 半格，那么又可以拼成不同的图形 （如图3）。
接着，有学生围出图4，这也占2格吗？怎么说明它也占2格？学生自然地采用了图5的方式说明：原来，4格的一半也是2格（倍拼的方法如期而至）！
至此为止，课堂上，学生就像打开了潘多拉魔盒一样兴奋起来，“我发现：3格的一半是1格半，再加上半格也是2格！（如图6）”“5格的一半是2格半，去掉半格也是2格！（如图7）”甚至有学生提出：要是钉子板再长些，这样也可以，这是8格的一半4格，去掉4格的一半是2格（如图8）……
在这个过程中，图形的割补、倍拼，学生都在体验，图形面积的可加性、面积的不变性学生都在感受，甚至“同底等高的三角形面积相同”学生也在操作、实验中有了直观的知觉经验。
我们对上过这节课的6个班级237名学生，在学习“三角形面积”一课之前，做了前测调查，结果显示有146人能独立想到“倍拼”这一方法，占总人数的61.6%。在学习了基本图形面积以后，有80%以上的学生可以独立解决稍复杂的“组合图形面积”问题。虽没有直接证据证明这是本节实验课的“功劳”，但我们依旧相信，这节课帮助学生积累的活动经验，形成了我们看不见的“隐性知识”，正是这些隐性知识，助力学生的后续学习。这节实验课让我们看到：只要操作的材料合适，问题合适，学生自己的“发现”，在学生的隐性知识学习中有强大的作用。
二、设计让学生不断“研究”的实验课
【案例二】
“空间观念”如何培养一直是一线教师教学时一个“模糊”的点。以人教版教材五下中的“观察物体”为例。
教学该课时教师经常感到，这是一节很“无用”的课，不是教学内容的无用，而是教学本身经常是“隔空打牛”“隔靴搔痒”，起不到真正的作用。稍复杂一点的图形，对于“会”的学生来说，即使这节课不上，相关内容学生也可以解决；对于“不会”的学生来说，即使上过了这节课，让其自己思考，依旧无从下手。为什么会这样？“观察物体”为什么这么“难教”？ 从心理学的视角看，与空间观念有着密切联系的概念有空间知觉、空间表象、空间想象和空间能力。“观察物体”需要学生在头脑中对原有的“表象”进行加工，融入一部分“空间想象”解决眼前的问题。通过调研发现，“观察物体”让学生感到困难的主要原因是：学生缺少空间知觉的支撑，难以形成空间表象，没有表象自然无从想象，而“当空间想象受阻时，提供操作材料动手实验，是行之有效的教学对策”[3]。培养空间能力的一个重要条件就是让学生看到、接触到学习的对象。那么是否可以设计一节实验课，以丰富学生的空间知觉为目标，从而促进学生空间能力的发展呢？
小学生形成、发展空间观念主要依靠“视”与“触”，亦即主要途径、手段是观察与操作[4]。因此我们设计了数学实验课“图形穿越”[5]，为学生提供我们自己设计的可以相互“黏”在一起的立方体（罗永军，专利号：CN205461022V），以及可以当作“墙”的卡纸作为教具，创设立方体可以“穿墙而过”的情境，引导学生在“抓盗贼”的任务驱动下，不断地通过拼搭、观察、思考、想象、操作与反思等活动，丰富学生对小立方体搭成立体图形的“知觉”。同时，我们将立体图形与其三视图对应关系，与学生实际生活的房间中物体从不同方向“穿墙而过”留下的痕迹联系起来，触觉、运动觉与视觉的协同活动成为学生获得空间表象的有力支撑；让学生能够在丰富的对小立方体的知觉前提下，形成立体图形与其三视图的表象。
实践表明：这节课除了非常受学生的欢迎，让学生欲罢不能以外，学生在课前与课后解决相应问题的正确率有大幅度提高，理论和实践都告诉我们，这样的实验课的确对促进学生的空间观念发展有作用。
三、设计让学生充分“探索”的实验课
【案例三】
培养学生创造性思维是数学教育的重要目标之一，但学校数学教学中，数学表达的统一性、简洁性，数学题解法和答案的唯一性，往往又制约着学生“创新思维”的形成。对“探索”过程的经历，能够激发学生正向的学习情感，能够培养学生的积极数学精神，已经是大家的共识。课堂上，教师也注意到了要让学生经历“探索”的过程，但由于课堂时间、教学任务和教学内容所限，课堂上的探究往往成了“走过场”式的假探究。是否可以适当地将教学内容设计成实验课，真正让学生经历“探索”答案的过程，以增加学生与“创造性思维”相关的隐性知识呢？
罗永军老师设计的“掷骰子”[6]一课，就源于此初衷。
“骰子”有6个面，相对面点数的和为7，如果将一摞骰子摆起来，只看到最上面的骰子朝上一面的点数就可以知道这一摞骰子“看不见”的所有面的点数之和（若有a颗骰子，最上面一粒骰子朝上的点数为b，则“看不见”的点数之和为n=7a-b）。知道这个规律、解决相应的问题远不是这节课的目的，而这样的规律，学生自己是不是可以发现？他们是怎么发现和解决问题的？
教学时，罗老师先请学生看了一段视频，一名可以猜到答案的男生声称自己有“透视眼”，所以可以“看到”大家看不见的面上的点数。这当然引起了学生们的兴趣。罗老师问：“这个透视眼是天生的还是可以练出来的？”“咱们也练练，看是不是可以练出来。”从一颗骰子开始“练”起。课堂上一个调皮的学生学着“拜菩萨”的样子，嘴里喊着“3、3、3……”骰子一扔，不是3，沮丧地再来一次，“3、3、3……”哇，居然真是3，看他喊“我练成了！”的样子，真让人忍俊不禁。当他看到同伴通过反复观察，发现只要朝上的一面是1，看不见的就是6……这样的规律，从而“练成”看一颗骰子的透视眼时，惊讶地发现数学原来比“菩萨”好用多了，进而在与同伴交流的基础上，总结出一颗骰子的“透视眼”是“只要用7减去对面的点子数会算，就练成了”的结论。
实践中，我们还惊奇地发现：即便学生已經知道“相对面的点数和是7”，到发现“有几颗，看不见的点子数就是几个7减去最上面的数”还是要经历一段“曲折”的探索过程，而不是像我们想的那样“很快”就能迁移过来了。这节课教学内容简单，如果学生已经知道这个规律，解决问题无非就是“套用公式”，但是对“什么是教学”的思考，以及教学法的转变让我们感受到：如果给学生足够的时间，让学生在感到足够安全的基础上探索，这样的实验课很有价值！
杜威认为：“一切教育活动的首要根基在于儿童本能的、冲动的态度和活动。”[7]但如果“实验”仅仅等同于“活动”，显然缺少了数学教育的价值。回顾以上几个教学案例，可以看到，我们设计的每一节数学实验课，都是带着对数学问题的思考，带着对学生学习中遇到的问题与他们对困难的理解而设计。我们理解的数学实验，数学是核心内容，促进学生隐性知识的积累是目的，实验是教学方式。虽然教学环境下的实验，不那么精准，但它却极具生态性，让隐性知识的教学变得可操作、可把握。希望数学实验课能够带领学生在“发现”“研究”“探索”中不断成长。
参考文献：
[1]苏霍姆林斯基.给教师的建议[M].杜殿坤，译.北京：教育科学出版社，1984.
[2]李量，邢佳立.因“围”精彩——数学实验课《钉子板上围图形》教学片段实录与点评[J].小学教学设计，2017（14）.
[3]曹培英.小学生空间观念的形成与发展有什么特点[J].小学数学教育，2010（4）.
[4]曹培英.跨越断层，走出误区[M].上海：上海教育出版社，2018.
[5]邢佳立.巧借“图形穿越”发展空间观念——《图形穿越》教学片段实录及分析[J].小学教学（数学版），2016（9）.
[6]罗永军.透视骰子能透视出什么[J].中小学数学（小学版）， 2016（10）.
[7]杜威.学校与社会·明日之学校[M].赵祥麟，等，译.北京：人民教育出版社，2005.
（浙江省新思维教育科学研究院 310000）
【关键词】数学实验课；倍拼；空间观念；探索
自2001年新课程改革以来，学校教学的范式已经从以往以教师为中心的教学模式，逐步转换成以学生为中心的模式。教师在课堂教学中的角色更多的是引领者、促进者和协助者，课堂学习的主体聚焦在学生。苏霍姆林斯基说过：人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探索者。在儿童的世界中，这种需要特别强烈。但如果不向这种需要提供养料，即不积极接触事实和现象，缺乏认识的乐趣，这种需求就会逐渐消失，求知兴趣也与之一道熄灭。[1]如何在数学课堂教学中，体现以学生为中心，让学生感受和成为学习的主人，需要数学教师有针对性地做好课程设计。数学实验课因其活动“具有具身认知特点”“材料往往是生成性资源”“任务引人入胜”等特点，可以更好地满足学生以上心理需求，又有利于帮助学生发展那些难以清晰表达的，如数学信念、经验、思维、直觉、灵感等“隐性知识”。
本文以几节数学实验课为例，试对数学实验的设计提出思考。
一、设计让学生有所“发现”的实验课
【案例一】
学生在学习数学的过程中，总有一些共性的“难点”“瓶颈”难以突破，比如学习“三角形面积”时，需要学生能将三角形转化为已经学过的图形，用已学过的面积计算方法来解决三角形的面积问题。如果没有教师的引导与介入，学生很难自觉想到用两个同样的三角形拼成一个平行四边形（倍拼）的方法。倍拼的方法并非在学习三角形时才出现，学生之所以迁移的能力不足，与他们缺少“倍拼”的基本活动经验有很大关系。是否有可能设计一节数学实验课，让学生自然而然地发现“倍拼”是帮助解决图形问题的重要方法，从而帮助学生积累这种经验，促进学生有关图形知识的内化与迁移。
带着这样的思考，我们设计了“钉子板上围图形”[2]一课。整节课的教学环节大致如下。
（1）介绍学习工具：钉子板与橡皮筋。钉子板上最靠近的4个“钉”中间的部分，我们称之为“1格”，用橡皮筋在钉子板上可以围出各种图形。它们围出的格子数可以不一样。
（2）呈现已学图形：在钉子板上呈现围好的长方形、正方形、梯形等图形，请学生数一数，各占多少格。
（3）引导猜测与画图：如果在钉子板上围“占2格”的图形，可以围出多少个？并把自己想到的画在方格纸上。
（4）实验操作与交流：围占2格的图形，先在钉子板上围图形，并把围出的图形画下来，再和同伴说一说，这些图形是占2格吗？如何说明？
（5）实验延伸与拓展：围占3格的图形，可以围多少个？你是怎么想的？
在这一案例中，学生最初猜测“钉子板上围占2格的图形，可以围多少个”的时候，多数学生认为可以围2～3种，猜可以围4种或4种以上的学生不足20%。学生最初围出的图形大致如图1所示。
但在相互交流中，学生发现，可以根据格子的累加来“设计”图形，1格 1格，只有长方形，1格 半格 半格，就可以有多种方式了，除了直角三角形、平行四边形、梯形以外，还可以拼成不规则图形（如图2）； 如果是半格 半格 半格 半格，那么又可以拼成不同的图形 （如图3）。
接着，有学生围出图4，这也占2格吗？怎么说明它也占2格？学生自然地采用了图5的方式说明：原来，4格的一半也是2格（倍拼的方法如期而至）！
至此为止，课堂上，学生就像打开了潘多拉魔盒一样兴奋起来，“我发现：3格的一半是1格半，再加上半格也是2格！（如图6）”“5格的一半是2格半，去掉半格也是2格！（如图7）”甚至有学生提出：要是钉子板再长些，这样也可以，这是8格的一半4格，去掉4格的一半是2格（如图8）……
在这个过程中，图形的割补、倍拼，学生都在体验，图形面积的可加性、面积的不变性学生都在感受，甚至“同底等高的三角形面积相同”学生也在操作、实验中有了直观的知觉经验。
我们对上过这节课的6个班级237名学生，在学习“三角形面积”一课之前，做了前测调查，结果显示有146人能独立想到“倍拼”这一方法，占总人数的61.6%。在学习了基本图形面积以后，有80%以上的学生可以独立解决稍复杂的“组合图形面积”问题。虽没有直接证据证明这是本节实验课的“功劳”，但我们依旧相信，这节课帮助学生积累的活动经验，形成了我们看不见的“隐性知识”，正是这些隐性知识，助力学生的后续学习。这节实验课让我们看到：只要操作的材料合适，问题合适，学生自己的“发现”，在学生的隐性知识学习中有强大的作用。
二、设计让学生不断“研究”的实验课
【案例二】
“空间观念”如何培养一直是一线教师教学时一个“模糊”的点。以人教版教材五下中的“观察物体”为例。
教学该课时教师经常感到，这是一节很“无用”的课，不是教学内容的无用，而是教学本身经常是“隔空打牛”“隔靴搔痒”，起不到真正的作用。稍复杂一点的图形，对于“会”的学生来说，即使这节课不上，相关内容学生也可以解决；对于“不会”的学生来说，即使上过了这节课，让其自己思考，依旧无从下手。为什么会这样？“观察物体”为什么这么“难教”？ 从心理学的视角看，与空间观念有着密切联系的概念有空间知觉、空间表象、空间想象和空间能力。“观察物体”需要学生在头脑中对原有的“表象”进行加工，融入一部分“空间想象”解决眼前的问题。通过调研发现，“观察物体”让学生感到困难的主要原因是：学生缺少空间知觉的支撑，难以形成空间表象，没有表象自然无从想象，而“当空间想象受阻时，提供操作材料动手实验，是行之有效的教学对策”[3]。培养空间能力的一个重要条件就是让学生看到、接触到学习的对象。那么是否可以设计一节实验课，以丰富学生的空间知觉为目标，从而促进学生空间能力的发展呢？
小学生形成、发展空间观念主要依靠“视”与“触”，亦即主要途径、手段是观察与操作[4]。因此我们设计了数学实验课“图形穿越”[5]，为学生提供我们自己设计的可以相互“黏”在一起的立方体（罗永军，专利号：CN205461022V），以及可以当作“墙”的卡纸作为教具，创设立方体可以“穿墙而过”的情境，引导学生在“抓盗贼”的任务驱动下，不断地通过拼搭、观察、思考、想象、操作与反思等活动，丰富学生对小立方体搭成立体图形的“知觉”。同时，我们将立体图形与其三视图对应关系，与学生实际生活的房间中物体从不同方向“穿墙而过”留下的痕迹联系起来，触觉、运动觉与视觉的协同活动成为学生获得空间表象的有力支撑；让学生能够在丰富的对小立方体的知觉前提下，形成立体图形与其三视图的表象。
实践表明：这节课除了非常受学生的欢迎，让学生欲罢不能以外，学生在课前与课后解决相应问题的正确率有大幅度提高，理论和实践都告诉我们，这样的实验课的确对促进学生的空间观念发展有作用。
三、设计让学生充分“探索”的实验课
【案例三】
培养学生创造性思维是数学教育的重要目标之一，但学校数学教学中，数学表达的统一性、简洁性，数学题解法和答案的唯一性，往往又制约着学生“创新思维”的形成。对“探索”过程的经历，能够激发学生正向的学习情感，能够培养学生的积极数学精神，已经是大家的共识。课堂上，教师也注意到了要让学生经历“探索”的过程，但由于课堂时间、教学任务和教学内容所限，课堂上的探究往往成了“走过场”式的假探究。是否可以适当地将教学内容设计成实验课，真正让学生经历“探索”答案的过程，以增加学生与“创造性思维”相关的隐性知识呢？
罗永军老师设计的“掷骰子”[6]一课，就源于此初衷。
“骰子”有6个面，相对面点数的和为7，如果将一摞骰子摆起来，只看到最上面的骰子朝上一面的点数就可以知道这一摞骰子“看不见”的所有面的点数之和（若有a颗骰子，最上面一粒骰子朝上的点数为b，则“看不见”的点数之和为n=7a-b）。知道这个规律、解决相应的问题远不是这节课的目的，而这样的规律，学生自己是不是可以发现？他们是怎么发现和解决问题的？
教学时，罗老师先请学生看了一段视频，一名可以猜到答案的男生声称自己有“透视眼”，所以可以“看到”大家看不见的面上的点数。这当然引起了学生们的兴趣。罗老师问：“这个透视眼是天生的还是可以练出来的？”“咱们也练练，看是不是可以练出来。”从一颗骰子开始“练”起。课堂上一个调皮的学生学着“拜菩萨”的样子，嘴里喊着“3、3、3……”骰子一扔，不是3，沮丧地再来一次，“3、3、3……”哇，居然真是3，看他喊“我练成了！”的样子，真让人忍俊不禁。当他看到同伴通过反复观察，发现只要朝上的一面是1，看不见的就是6……这样的规律，从而“练成”看一颗骰子的透视眼时，惊讶地发现数学原来比“菩萨”好用多了，进而在与同伴交流的基础上，总结出一颗骰子的“透视眼”是“只要用7减去对面的点子数会算，就练成了”的结论。
实践中，我们还惊奇地发现：即便学生已經知道“相对面的点数和是7”，到发现“有几颗，看不见的点子数就是几个7减去最上面的数”还是要经历一段“曲折”的探索过程，而不是像我们想的那样“很快”就能迁移过来了。这节课教学内容简单，如果学生已经知道这个规律，解决问题无非就是“套用公式”，但是对“什么是教学”的思考，以及教学法的转变让我们感受到：如果给学生足够的时间，让学生在感到足够安全的基础上探索，这样的实验课很有价值！
杜威认为：“一切教育活动的首要根基在于儿童本能的、冲动的态度和活动。”[7]但如果“实验”仅仅等同于“活动”，显然缺少了数学教育的价值。回顾以上几个教学案例，可以看到，我们设计的每一节数学实验课，都是带着对数学问题的思考，带着对学生学习中遇到的问题与他们对困难的理解而设计。我们理解的数学实验，数学是核心内容，促进学生隐性知识的积累是目的，实验是教学方式。虽然教学环境下的实验，不那么精准，但它却极具生态性，让隐性知识的教学变得可操作、可把握。希望数学实验课能够带领学生在“发现”“研究”“探索”中不断成长。
参考文献：
[1]苏霍姆林斯基.给教师的建议[M].杜殿坤，译.北京：教育科学出版社，1984.
[2]李量，邢佳立.因“围”精彩——数学实验课《钉子板上围图形》教学片段实录与点评[J].小学教学设计，2017（14）.
[3]曹培英.小学生空间观念的形成与发展有什么特点[J].小学数学教育，2010（4）.
[4]曹培英.跨越断层，走出误区[M].上海：上海教育出版社，2018.
[5]邢佳立.巧借“图形穿越”发展空间观念——《图形穿越》教学片段实录及分析[J].小学教学（数学版），2016（9）.
[6]罗永军.透视骰子能透视出什么[J].中小学数学（小学版）， 2016（10）.
[7]杜威.学校与社会·明日之学校[M].赵祥麟，等，译.北京：人民教育出版社，2005.
（浙江省新思维教育科学研究院 310000）