两点间距离公式，点到直线间距离公式有着广泛的应用，可能因为其形式的“变脸”，使人们不易认清它们，结果导致解题思路受阻，一旦认清距离公式的“变脸”，问题就迎韧而解，下面举例说明.
　　一、解方程
　　例1解方程x2-4x+5+x2+1=22.
　　分析：配方使等式左边可作为两点间距离.
　　解：原方程配方得（x-2）2+1+x2+1=22，可作为x轴上一点P（x，0）到两定点A（2，1），B（0，-1）的距离和为22，即P点的横坐标就是原方程的解.
　　又|AB|=（2-0）2+（1+1）2=22，所以点P在线段AB上又在x轴上，点P就是直线AB与x轴的交点，易知AB：y=x-1，与x轴交点为P（1，0），所以原方程解为x=1.
　　点评：配方法认清距离公式的变脸，就能解有关距离模型的方程.
　　二、证明不等式
　　例2已知a+b=1，求证：对任意实数m，n有（m+a）2+（n+b）2≥12（m+n+1）2.
　　分析：不等式两边开平方，左边作为两点间距离，右边作为点到直线距离
　　解：因为a+b=1，所以点m（a，b）在直线l：x+y-1=0上，点P（-m，-n）到直线l的距离为d=|-m-n-1|2=|m+n+1|2，因为|PM|≥d（m+a）2+（n+b）2≥|m+n+1|2（m+a）2+（n+b）2≥12（m+n+1）2.
　　点评：开平方认清距离公式的变脸，就能证明有关距离模型的不等式.
　　三、求函数最值
　　图1例3求函数f（x）=x6+4|x|3+x2+4的最小值.
　　分析：配方并换元转化为两点间距离.
　　解：令t=|x|3，所以f（x）=x6+4|x|3+x2+4=
　　（|x|3+2）2+（x-0）2=
　　（x-0）2+（t+2）2，f（x）可作为t=|x|3上一点A（x，t）到定点B（0，-2）的距离，由图1知当A点在原点时，该距离为2最小，即x=0时，fmin（x）=2.
　　点评：令y=f（x），形如（x-x1）2+（f（x）-y1）2可作为函数y=f（x）上动点A（x，f（x））到定点B（x1，y1）的距离.
　　四、求函数的单调性
　　例4求函数f（x）=|x+2-1-x2|的单调区间及单调性.
　　分析：把函数f（x）看作点到直线间距离d=|Ax+By+C|A2+B2的形式.
　　图2解：函数的定义域是-1≤x≤1.令y=1-x2，即x2+y2=1
　　y≥0如图2，所以f（x）=|x+2-y|=|x+2-y|2×2，几何意义：半圆上动点M（x，y）到定直线L：x-y+2=0距离的2倍，由图2知使OB⊥L，B到L距离最小，易得OB：y=-x，由x2+y2=1，（y≥0）
　　y=-x，得x=-22即B点横坐标，所以当x由-1→-22时，上半圆上动点M由A→B，M到L距离由大变小，即在[-1，-22]上f（x）递减.
　　当x由-22→1时，上半圆上动点M由B→C，M到L距离由小变大，即在[-22，1]上f（x）递增.
　　点评：令y=f（x），形如|Ax+Bf（x）+C|的表示式化为d=|Ax+By+C|A2+B2，看作函数y=f（x）上动点A（x，f（x））到定直线l：Ax+By+C=0间距离.
　　同学们，当你认真读懂了以上内容后，对距离公式就有了深刻地认识，距离公式无论如何变化，都很难逃脱你的法眼，揭开距离公式的“变脸”，让你轻松解题，快乐学习，本刊就象浩瀚学海中的灯塔，学习上引领你乘风破浪，奋勇向前.
　　[陕西省户县二中710307]