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新课程标准中明确提出“以学生的终身发展为本”的理念,可见让学生学会自觉地学习是十分重要的.而要想让学生主动地参与到学习中去,关键在于激发学生的学习兴趣,让学生学有动力,这样才能有效地培养学生的自主探究能力.数学课堂上激发学生学习兴趣、培养学生的自主探究能力的方法有很多.下面就数学教学中如何运用“一题多变”来激发学生学习兴趣、培养学生自主探究能力方面谈一下自己的做法:
1 结论不变,将图形简化从而形成一个新的题目
原题1 如图1,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()
A.180°B.270°C.360°D.540°
解 因为AB∥CD,所以∠BAC+∠ACD=180°.因为CD∥EF.所以∠DCE+∠CEF=180°.所以∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
故选C.
这是人教版义务教育课程标准实验教科书中第23页的一个习题,如果仔细研究,就可以演变出不同的题目,这样既能促使学生探索,又能将思维引向深入,从而激发了学生学习数学的兴趣,使学生主动的参与到学习中来.
变式 如图2,已知AB∥CD,试求∠A+∠E+∠C的值.
结合原题,学生不难发现解题方法,那就是过E点作EF∥AB.(如图3)这样就把问题化归到原题中去,不但降低了学生的接受难度,也培养了学生的化归思想和化归意识.需要注意的是EF∥AB为已作,而EF∥CD则需要学生自己证明(因为EF∥AB,AB∥CD,所以EF∥CD.).
2 题目的条件和结论互换从而形成一个新的题目
变式 如图2,已知∠A+∠E+∠C=360°.
求证:AB∥CD.
证明 过E点作EF∥AB. 因为EF∥AB,所以∠A+∠1=180°.因为∠A+∠BED+∠C=360°,所以∠D+∠2=180°.所以EF∥CD.所以AB∥CD.
这样不但复习了平行线的判定和性质,使学生对平行线的判定定理和性质定理有了更深的理解,而且更有利于学生逆向思维习惯的培养.
3 将题目进行延伸,构成具有一定规律的问题.
变式 如图4,已知AB∥CD,求∠A+∠E+∠F+∠C的值
解析 如图5,过E点作EG∥AB,过F点作FH∥AB.
结合上面的题目中的方法,就很容易求出∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°.
[TP9b.tif,BP][TS(][JZ]图4 图5[TS)]
这样形成的题目无论从解决方法上还是从最后结论上都与原题有着密切的联系,通过引导学生探究,就能激发学生更大的兴趣,使学生自发地投入到学习中去,真正成为学习的主人.
4 将图形进行简单变型,形成新的问题,进一步引导学生探究新的结论.
变式 如图6,已知AB∥CD,试探究∠A、∠E、∠C的关系.
解析 如图7,只要结合前面问题的解决方法,过E点作EF∥AB,利用学过的知识就不难得到:∠A=∠1,∠C=∠2,从而得到∠A、∠AEC、∠C的关系为:∠AEC=∠A+∠C.
只要经常引导学生进行这方面的尝试,就能使学生养成这样的好习惯:对于给出的问题,认真观察、分析、反思,产生试一试能不能把它变成一个与之有联系的新的问题的动力.学生的探究创新能力就自然而然的得到了培养.
5 将一些题目中的特殊值一般化,形成新的问题
原题2 如图8,D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于点F,∠A=62°,
∠ACD=35°,∠ABE=20°,求∠BDC和∠BFD的度数.
解 因为∠BDC=∠A+∠ACD,∠A=62°,∠ACD=35°,
所以∠BDC=62°+35°=97°.
因为∠BDC+∠ABE+∠BFD=180°,∠ABE=20°,
所以∠BFD=180°-∠ABE-∠BDC
=180°-∠ABE-∠BDC
=180°-20°-97°
=63°.
由上不难求出∠BFC=117°,在基础上引导学生探究∠A、∠ABE、∠ACD与∠BFC之间的数量关系,就很容易得出:∠BFC=∠A+∠ABE+∠ACD.在此基础上将题目变形得到:
变式 如图9,O为△ABC内任意一点,连接BO、CO,试说明∠A、∠ABO、∠ACO与∠BOC之间的数量关系.
解析 只要延长BO交AC于D,就容易得到
∠BOC=∠BDO+∠ACO,∠BDO=∠A+∠ABO,从而得到
∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO.
通过这样的练习,能够培养学生的“由特殊到一般”
的数学思想,养成由特殊现象探究出一般规律的良好习惯,
从而达到对学生探究创新能力的培养.
6 将题目条件强化,形成“由一般到特殊”的问题
变式 如图10,△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,试探究∠A与∠BOC之间的数量关系.
解析 利用上面的结论再结合题目中的条件“∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,”不难发现可将问题转化为探究∠A与∠ABC、∠ACB之间的关系;而由三角形内角和定理可知“∠A+∠ABC+∠ACB=180°”.
多做这样的练习,能够培养学生的“由一般到特殊”的数学思想,养成运用一般规律解决具体问题的习惯,提高学生运用所学知识解决实际问题的意识和能力.
1 结论不变,将图形简化从而形成一个新的题目
原题1 如图1,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()
A.180°B.270°C.360°D.540°
解 因为AB∥CD,所以∠BAC+∠ACD=180°.因为CD∥EF.所以∠DCE+∠CEF=180°.所以∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
故选C.
这是人教版义务教育课程标准实验教科书中第23页的一个习题,如果仔细研究,就可以演变出不同的题目,这样既能促使学生探索,又能将思维引向深入,从而激发了学生学习数学的兴趣,使学生主动的参与到学习中来.
变式 如图2,已知AB∥CD,试求∠A+∠E+∠C的值.
结合原题,学生不难发现解题方法,那就是过E点作EF∥AB.(如图3)这样就把问题化归到原题中去,不但降低了学生的接受难度,也培养了学生的化归思想和化归意识.需要注意的是EF∥AB为已作,而EF∥CD则需要学生自己证明(因为EF∥AB,AB∥CD,所以EF∥CD.).
2 题目的条件和结论互换从而形成一个新的题目
变式 如图2,已知∠A+∠E+∠C=360°.
求证:AB∥CD.
证明 过E点作EF∥AB. 因为EF∥AB,所以∠A+∠1=180°.因为∠A+∠BED+∠C=360°,所以∠D+∠2=180°.所以EF∥CD.所以AB∥CD.
这样不但复习了平行线的判定和性质,使学生对平行线的判定定理和性质定理有了更深的理解,而且更有利于学生逆向思维习惯的培养.
3 将题目进行延伸,构成具有一定规律的问题.
变式 如图4,已知AB∥CD,求∠A+∠E+∠F+∠C的值
解析 如图5,过E点作EG∥AB,过F点作FH∥AB.
结合上面的题目中的方法,就很容易求出∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°.
[TP9b.tif,BP][TS(][JZ]图4 图5[TS)]
这样形成的题目无论从解决方法上还是从最后结论上都与原题有着密切的联系,通过引导学生探究,就能激发学生更大的兴趣,使学生自发地投入到学习中去,真正成为学习的主人.
4 将图形进行简单变型,形成新的问题,进一步引导学生探究新的结论.
变式 如图6,已知AB∥CD,试探究∠A、∠E、∠C的关系.
解析 如图7,只要结合前面问题的解决方法,过E点作EF∥AB,利用学过的知识就不难得到:∠A=∠1,∠C=∠2,从而得到∠A、∠AEC、∠C的关系为:∠AEC=∠A+∠C.
只要经常引导学生进行这方面的尝试,就能使学生养成这样的好习惯:对于给出的问题,认真观察、分析、反思,产生试一试能不能把它变成一个与之有联系的新的问题的动力.学生的探究创新能力就自然而然的得到了培养.
5 将一些题目中的特殊值一般化,形成新的问题
原题2 如图8,D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于点F,∠A=62°,
∠ACD=35°,∠ABE=20°,求∠BDC和∠BFD的度数.
解 因为∠BDC=∠A+∠ACD,∠A=62°,∠ACD=35°,
所以∠BDC=62°+35°=97°.
因为∠BDC+∠ABE+∠BFD=180°,∠ABE=20°,
所以∠BFD=180°-∠ABE-∠BDC
=180°-∠ABE-∠BDC
=180°-20°-97°
=63°.
由上不难求出∠BFC=117°,在基础上引导学生探究∠A、∠ABE、∠ACD与∠BFC之间的数量关系,就很容易得出:∠BFC=∠A+∠ABE+∠ACD.在此基础上将题目变形得到:
变式 如图9,O为△ABC内任意一点,连接BO、CO,试说明∠A、∠ABO、∠ACO与∠BOC之间的数量关系.
解析 只要延长BO交AC于D,就容易得到
∠BOC=∠BDO+∠ACO,∠BDO=∠A+∠ABO,从而得到
∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO.
通过这样的练习,能够培养学生的“由特殊到一般”
的数学思想,养成由特殊现象探究出一般规律的良好习惯,
从而达到对学生探究创新能力的培养.
6 将题目条件强化,形成“由一般到特殊”的问题
变式 如图10,△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,试探究∠A与∠BOC之间的数量关系.
解析 利用上面的结论再结合题目中的条件“∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,”不难发现可将问题转化为探究∠A与∠ABC、∠ACB之间的关系;而由三角形内角和定理可知“∠A+∠ABC+∠ACB=180°”.
多做这样的练习,能够培养学生的“由一般到特殊”的数学思想,养成运用一般规律解决具体问题的习惯,提高学生运用所学知识解决实际问题的意识和能力.