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学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解,认为数学是枯燥乏味的,同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要的信心,从而丧失数学学习的兴趣。对学生思维能力的培养是数学教学的三大目的之一。在平时的教学中,教师既要注重逻辑思维能力的培养,又要注重观察力、直觉力、想象力的培养。培养直觉思维能力是社会发展的需要,是适应新时期社会对人才的需求。
一、数学直觉思维的阐释
数学直觉是具有意识的人脑对数学对象的某种直接的领悟和洞察。直观与直感都是以真实的事物为对象,通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明,只是一种直观形象的感知。而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。例如,我们仍无法想象千角形,但我们能够通过直觉一般地思考多角形,多角形把三角形作为一个特例包括进来。由此可见直觉是一种深层次的心理活动,没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。
从思维方式看,思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意地把两者分离开来,其实这是一种误解,逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎,而直观重于分析。从侧重角度来看,此话不无道理,但侧重并不等于完全,数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西,人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉,甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映,它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现,再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉,在一定程度上就是在问题解决中得到发展的,问题解决也离不开直觉。下面我就以数学问题的证明为例,考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多演绎推理元素,一个成功的数学证明是这些基本运算或演绎推理元素的一个成功的组合,仿佛是一条从出发点到目的地的通道,一个个基本运算和演绎推理元素就是这条通道的一个个路段,当一个成功的证明摆在我们面前开始,逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利的到达目的地,但是逻辑却不能告诉我们为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上,出发不久就会遇上叉路口,也就是遇上正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为,即便能复写出一个成功的数学证明,但不知道是什么东西造成了证明的一致性,这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步,直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球要靠球感一样,在快速运动中来不及去作逻辑判断,动作只是下意识的,而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。
二、学生直觉思维的主要特征
直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点,从培养直觉思维的必要性来看,我认为直觉思维有以下三个主要特点。
1.简约性
直觉思维是对思维对象从整体上考察,调动自己的全部知识经验,通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设、猜想或判断,它省去了一步一步分析推理的中间环节,而采取了跳跃式的形式。它是一瞬间的思维火花,是长期积累上的一种升华,是思维者的灵感和顿悟,是思维过程的高度简化,但是它却清晰地触及事物的本质。
2.创造性
现代社会需要创造性的人才,我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验,过多地注重培养逻辑思维,培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规,缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握,不专意于细节的推敲,是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性,它的想象才是丰富的、发散的,使人的认知结构向外无限扩展,因而具有反常规律的独创性。
3.自信力
学生对数学产生兴趣的原因有两种,一种是教师的人格魅力,其二是来自数学本身的魅力。不可否认情感的重要作用,但我的观点是,兴趣更多来自数学本身。成功可以培养一个人的自信,直觉发现伴随着很强的自信心。相比其它的物质奖励和情感激励,这种自信更稳定、更持久。
三、怎样培养学生直觉思维
一个人的数学思维,判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出:数学直觉是可以后天培养的,实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。数学直觉是可以通过训练提高的。
1.扎实的基础是产生直觉的源泉
直觉不是靠机遇,直觉的获得虽然具有偶然性,但绝不是无缘无故的凭空臆想,而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底,是不会迸发出思维的火花的。
2.渗透数学的哲学观点及审美观念
直觉的产生是基于对研究对象整体的把握,而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。美感和美的意识是数学直觉的本质,提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识,审美能力越强,则数学直觉能力越强。
3.重视解题教学
教师选择适当的题目类型,有利于培养、考查学生的直觉思维。例如选择题,由于只要求从四个选择支中挑选出来,省略解题过程,容许合理的猜想,有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学,也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确,可以从多个角度由果寻因,由因索果,提出猜想,由于答案的发散性,有利于直觉思维能力的培养。
4.设置直觉思维的意境和动机诱导
这就要求教师转变教学观念,把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定,对其合理成分及时给予鼓励,爱护、扶植学生的自发性直觉思维,以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导,解除学生心中的疑惑,使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
“跟着感觉走”是教师经常讲的一句话,其实这句话里蕴涵着直觉思维的萌芽,只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇地在课堂教学中提出,制定相应的活动策略,从整体上分析问题的特征;重视数学思维方法的教学,诸如换元、数形结合、归纳猜想、反证法等,对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。
综合上述,直觉思维与逻辑思维同等重要,偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展,伊思·斯图尔特曾经说过这样一句话:“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起,受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在,也是数学教育者努力的方向。
一、数学直觉思维的阐释
数学直觉是具有意识的人脑对数学对象的某种直接的领悟和洞察。直观与直感都是以真实的事物为对象,通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明,只是一种直观形象的感知。而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。例如,我们仍无法想象千角形,但我们能够通过直觉一般地思考多角形,多角形把三角形作为一个特例包括进来。由此可见直觉是一种深层次的心理活动,没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。
从思维方式看,思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意地把两者分离开来,其实这是一种误解,逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎,而直观重于分析。从侧重角度来看,此话不无道理,但侧重并不等于完全,数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西,人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉,甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映,它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现,再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉,在一定程度上就是在问题解决中得到发展的,问题解决也离不开直觉。下面我就以数学问题的证明为例,考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多演绎推理元素,一个成功的数学证明是这些基本运算或演绎推理元素的一个成功的组合,仿佛是一条从出发点到目的地的通道,一个个基本运算和演绎推理元素就是这条通道的一个个路段,当一个成功的证明摆在我们面前开始,逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利的到达目的地,但是逻辑却不能告诉我们为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上,出发不久就会遇上叉路口,也就是遇上正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为,即便能复写出一个成功的数学证明,但不知道是什么东西造成了证明的一致性,这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步,直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球要靠球感一样,在快速运动中来不及去作逻辑判断,动作只是下意识的,而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。
二、学生直觉思维的主要特征
直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点,从培养直觉思维的必要性来看,我认为直觉思维有以下三个主要特点。
1.简约性
直觉思维是对思维对象从整体上考察,调动自己的全部知识经验,通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设、猜想或判断,它省去了一步一步分析推理的中间环节,而采取了跳跃式的形式。它是一瞬间的思维火花,是长期积累上的一种升华,是思维者的灵感和顿悟,是思维过程的高度简化,但是它却清晰地触及事物的本质。
2.创造性
现代社会需要创造性的人才,我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验,过多地注重培养逻辑思维,培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规,缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握,不专意于细节的推敲,是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性,它的想象才是丰富的、发散的,使人的认知结构向外无限扩展,因而具有反常规律的独创性。
3.自信力
学生对数学产生兴趣的原因有两种,一种是教师的人格魅力,其二是来自数学本身的魅力。不可否认情感的重要作用,但我的观点是,兴趣更多来自数学本身。成功可以培养一个人的自信,直觉发现伴随着很强的自信心。相比其它的物质奖励和情感激励,这种自信更稳定、更持久。
三、怎样培养学生直觉思维
一个人的数学思维,判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出:数学直觉是可以后天培养的,实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。数学直觉是可以通过训练提高的。
1.扎实的基础是产生直觉的源泉
直觉不是靠机遇,直觉的获得虽然具有偶然性,但绝不是无缘无故的凭空臆想,而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底,是不会迸发出思维的火花的。
2.渗透数学的哲学观点及审美观念
直觉的产生是基于对研究对象整体的把握,而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。美感和美的意识是数学直觉的本质,提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识,审美能力越强,则数学直觉能力越强。
3.重视解题教学
教师选择适当的题目类型,有利于培养、考查学生的直觉思维。例如选择题,由于只要求从四个选择支中挑选出来,省略解题过程,容许合理的猜想,有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学,也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确,可以从多个角度由果寻因,由因索果,提出猜想,由于答案的发散性,有利于直觉思维能力的培养。
4.设置直觉思维的意境和动机诱导
这就要求教师转变教学观念,把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定,对其合理成分及时给予鼓励,爱护、扶植学生的自发性直觉思维,以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导,解除学生心中的疑惑,使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
“跟着感觉走”是教师经常讲的一句话,其实这句话里蕴涵着直觉思维的萌芽,只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇地在课堂教学中提出,制定相应的活动策略,从整体上分析问题的特征;重视数学思维方法的教学,诸如换元、数形结合、归纳猜想、反证法等,对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。
综合上述,直觉思维与逻辑思维同等重要,偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展,伊思·斯图尔特曾经说过这样一句话:“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起,受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在,也是数学教育者努力的方向。