本文主要研究高阶微分方程边值问题解的存在性与多重性.论文分三章对一类非线性四阶双参数及四阶奇异边值问题进行了讨论.在第一章中，我们主要利用强单调映象原理和临界点理论研究算子方程解的存在性与多重性，然后把算子方程的抽象结果应用到非线性四阶双参数两点边值问题中.我们对非线性项f进行一些适当的限制，得到了边值问题解的存在性，唯一性以及多解性.这部分内容已经被SCI收录的核心杂志《J.Math.Anal.Appl.》接收，见[17].在第二章中，我们利用算子方程的抽象结果来研究一类四阶奇异边值问题.在非线性项f满足适当的条件时，我们得到问题至少有两个正解，一个正解，没有正解的结论.这部分内容已发表在《山西大学学报》，见[24].在第三章中，我们首先利用拓扑度理论及不动点指数理论研究非线性算子方程的变号解的存在性，然后把这些抽象结果应用到四阶双参数边值问题中，所研究的方程与第一章相同.在这一章中，我们利用拓扑度理论与不动点指数理论得到算子方程变号解的存在性，并且推广了著名的Amann三解定理.这部分内容已经被SCI收录的核心杂志《J.Math.Anal.Appl.》接收，见[18]. 下面，我们对本文的主要结果加以具体阐述. 在第一章中，我们主要讨论以下四阶双参数边值问题(BVP)：{u(4)(t)+βu"(t)-αu(t)=f(t，u(t))，t∈[0，1]，u(0)=u(1)=0，(1.1.1)u"(0)=u"(1)=0解的存在性、唯一性及多解性，其中f：[0，1]×R1→R1连续，α，β∈R1且满足β＜2π2，β2+4α≥0，α/π4+β/π2＜1. 主要结论如下：定理1.4.1.设对每一个t∈[0，1]，f(t，u)关于u是减函数，即f(t，u1)≥f(t，u2)，u1，u2∈R1且u1＜u2.则BVP(1.1.1)在C4[0，1]中有唯一解. 定理1.4.2.若存在a∈[0，π4-βπ2-α)使得[f(t，u)-f(t，v)][u-v]≤a|u-v|2，t∈[0，1]，u，v∈R1，则BVP(1.1.1)在C4[0，1]中有唯一解. 定理1.4.3.设∫u0f(t，v)dv≤a/2u2+b(t)|u|2-γ+c(t)，t∈[0，1]，u∈R1，其中a∈[0，π4-βπ2-α)，γ∈(0，2)，b∈L2/γ[0，1]，且c∈L[0，1].则BVP(1.1.1)在C4[0，1]中至少有一个解. 定理1.4.4.设(B1)存在μ∈(0，1/2)及R＞0使得F(t，u)(△=)∫u0f(t，v)dv≤μuf(t，u)，t∈[0，1]且|u|≥R；(B2)limsupu→0f(t，u)/u＜π4-βπ2-α和liminfu→+∞f(t，u)/u＞π4-βπ2-α对t∈[0，1]一致成立.则BVP(1.1.1)在C4[0，1]中至少有一个非零解. 定理1.4.5.设f(t，u)关于u是奇函数，即f(t，-u)=-f(t，u)，t∈[0，1]，u∈R1.进一步假设定理1.4.4中条件(B1)成立以及limsupu→0f(t，u)/u＜π4-βπ2-α和limu→+∞f(t，u)/u=+∞对t∈[0，1]一致成立.则BVP(1.1.1)有无穷多个解. 定理1.4.6.设条件(B1)成立，且(B3)limsupu→0f(t，u)/u＜(n+1)4π4-β(n+1)2π2-α对t∈[0，1]一致成立； (B4)F(t，u)≥2-1(n4π4-βn2π2-α)u2，(t，u)∈[0，1]×R1.则BVP(1.1.1)在C4[0，1]中至少有一个非零解. 在第二章中，我们主要讨论以下四阶奇异边值问题(BVP)：{u(4)(t)=λp(t)f(u(t)),t∈(0，1)，u(0)=u(1)=0，(2.1.1)u"(0)=u"(1)=0，其中λ是一个正参数，p∈C((0，1)，(0，+∞))且在t=0，1点奇异，f∈C(R+，R+)，R+=[0，+∞).首先作下列基本假设：(H4)f∈C(R+，R+)在R+上递增，p∈C((0，1)，(0，∞))且在0，1点奇异，且∫10s(1-s)p(s)ds＜+∞.(H5)f(0)＞0，limx→+∞f(x)/x=+∞.(H6)limx→0+f(x)/x=+∞且存在μ＞0使得f(x)≥μx，x∈R+. 主要结论如下：定理2.2.1.设(H4)和(H5)成立.则存在λ*＞0使得BVP(2.1.1)对所有λ∈(0，λ*)至少有两个正解，对λ=λ*至少有一个正解，对λ＞λ*没有正解. 定理2.2.2.设(H4)和(H6)成立.则存在λ*＞0使得BVP(2.1.1)对所有λ∈(0，λ*)至少有一个正解，对λ＞λ*没有正解. 在第三章中，我们仍然讨论BVP(1.1.1)，给出下列条件：(D1)f：[0，1]×R1→R1连续且在[0，1]上f(·，0)=0以及f(·，s)s≥0，s∈R1； (D2)α，β∈R1满足β＜2π2，α≥-β2/4，及α/π4+β/π2＜1.我们得到BVP(1.1.1)变号解的存在性，主要结论如下： 定理3.4.2.设条件(D1)，(D2)成立，且假设(D3)limu→0f(t，u)/u=f0对t∈[0，1]一致成立，且f0∈(η2n0,η2n0+1)；(D4)limu→∞f(t，u)/u=∫∞对t∈[0，1]一致成立，且∫∞∈(0，min{1/(2C0)，1/(2C1)}).则BVP(1.1.1)至少有三个解，其中一个正解，一个负解，一个变号解.