本论文主要分为两部分,其一:对无网格配置法在弱光滑条件下偏微分方程的稳定性和收敛性进行理论分析,利用强无网格配置法对实际问题进行计算。其二:对两类问题有限元进行分析,一是利用非协调元和离散第二Korn不等式对纯应力边界条件的平面弹性问题分析,另一个是讨论任意阶各向异性Lagrange插值在仿射单元(三角形单元,矩形单元,四面体单元和立方体单元)的插值误差。　　 在过去的几十年里,径向基函数(RBF)方法已经被证明多变量插值和偏微分方程的求解方面是十分有效的。在这篇论文中,关注的是利用径向基函数的无网格配置法在弱的光滑性条件下求解偏微分方程时,对它的稳定性进行分析。最初非对称无网格配置法是由E.Kansa在1986年首先介绍的,Hon和他的合作者后来又将该方法扩展到非线性初边值问题中。首先对非对称无网格配置法的稳定性和收敛性进行分析。R.Schaback利用非对称无网格方法对分析适定问题的误差和收敛提出了一个一般框架,我们就是在这个框架基础上分析的。为了简单起见,考虑的是标准的泊松边值问题(PBVP)。利用F.J.Ward,H.Wendland和R.Arcangéli等人的研究结果,在本文中给出了泊松边值问题利用无网格配置法的稳定性条件。然后利用无网格配置法对实际生活中的期权模型进行数值计算。这是对在一定的初值条件和自由边界条件下对偏的积分微分控制方程进行数值计算。数值算例用来说明方法的有效性和精确性。　　 平面弹性问题是弹性力学中一类重要问题,通常低阶协调有限元应用此类问题时遇到了困难,当材料Lame常数λ趋于无穷时,即材料趋于不可压时,离散格式不收敛,这即是Locking现象。有几种方法用于克服Locking现象,一个方向是利用混合元,但稳定的格式要满足BB条件。另一个方向是利用非协调元,针对纯位移边界条件购造了Locking-free的三角形、矩形以及四边形单元,但这些单元都不能直接用于纯应力边界条件的平面弹性问题,因为它们不满足第二Korn不等式。　　 在本章中构造一个非协调元,对此单元离散第二Korn不等式成立,因而离散问题有唯一解,此单元的收敛性与Lame常数λ无关,即单元是Locking-free的,同时此单元的能量模收敛速度达到2阶。　　 利用Lagrange插值的Newton表示形式,有新的方法,得到了任意阶各向异性Lagrange插值在仿射单元(三角形单元,矩形单元,四面体单元和立方体单元)的插值误差估计统一的形式表示。