【摘 要】
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本文基于对称性理论研究了某些力学系统守恒量的若干问题.目前研究的对称性主要有Noether对称性、Lie对称性、Mei对称性以及共形不变性,它们导致的守恒量有Noether守恒量、Hojman守恒量、Mei守恒量.本文将应用这些对称性理论研究某些力学系统的守恒量,研究内容有以下四部分：在第一部分即本文的第二章中,我们研究了Lagrange系统、Hamilton系统、广义Hamilton系统的Lie
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本文基于对称性理论研究了某些力学系统守恒量的若干问题.目前研究的对称性主要有Noether对称性、Lie对称性、Mei对称性以及共形不变性,它们导致的守恒量有Noether守恒量、Hojman守恒量、Mei守恒量.本文将应用这些对称性理论研究某些力学系统的守恒量,研究内容有以下四部分：在第一部分即本文的第二章中,我们研究了Lagrange系统、Hamilton系统、广义Hamilton系统的Lie对称性两种提法的等价性,对于广义Hamilton系统还研究了在一般无限小变换下的Lie对称性导致的新型守恒量,给出新型守恒量的表达式和证明过程.在第二部分即本文的第三章中,我们先研究了广义Hamilton系统的共形不变性与Mei对称性的关系,给出共形不变性同时具有Mei对称性的充要条件,并且得到了共形不变性通过Mei对称性导致的Mei守恒量；其次讨论了Lorenz方程的Robbins模型的共形不变性通过Mei对称性导致的Mei守恒量；最后研究了平面Kepler方程的共形不变性与Lie对称性,给出共形不变性通过Lie对称性导致的Hojman守恒量,同时研究了Kepler方程的Mei对称性,得到了与系统的总能量、角动量相互独立的守恒量.在第三部分即本文的第四章中,我们研究了Nielsen方程的Lie对称性导致的新型守恒量和Appell方程的Mei对称性导致的新型守恒量,给出新型守恒量的具体表达式和证明过程,举例说明结果的应用.在第四部分即本文的第五章中,我们应用单参数Lie群理论,研究了广义齐次系统的拟齐次多项式首次积分.通过讨论Lotka-Volterra系统的约化问题,给出系统拟齐次多项式首次积分的存在条件和具体表达式.
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