群表示理论是近年来代数学中发展比较迅速并且比较活跃的数学分支，是当前代数学研究的一个主流方向.群表示论在量子力学、晶体结构等领域有许多实际应用，这是因为它不仅能简化复杂的计算，对许多性质作出定性分析，还能预测物理、化学过程的发展趋势.　　群表示理论（例如在李群研究，特征标理论方面）已经有了长足的发展.由于代数群理论（包括李群研究）并不能揭示线性群表示的全部性质，因此，组合群理论成为了研究线性群表示的重要工具.幂单性的研究属于组合群理论与表示论的交叉研究.　　本文研究的是在本原元素的线性表示像均为幂单矩阵的条件下，二元生成自由群幂单的充要条件.　　目前对此问题的研究有两个可供参考的思路:一是将表示维数由低向高推进，寻找涵盖不高于某固定维数情况下的一般性证明;另一种是在表示维数不固定的情况下，考虑矩阵的某种规范型（如若当标准形）的分类，通过对不同类型的讨论寻找一般规律.目前，沿着第一种思路得到的最好结论是在表示维数为7的情况下给出了肯定回答.　　本文研究的是表示维数为8时的两种特殊情况:　　1)某生成元的标准形恰为一个若当块;　　2)某生成元的标准形为diag（J7，1）;证明在这两种情况下二元生成自由群幂单的充要条件是其本原元的像均幂单.