自Pardoux和Peng [47]的奠基性工作之后,非线性倒向随机微分方程（简称BSDE）凭借其在随机控制,偏微分方程及金融数学等领域中的广泛应用而得到相当大的关注。另一方面,作为BSDEs的非平凡推广,本文着重研究如下方程,倒向随机Volterra积分方程（简称BSVIE）,我们给出本文的如下组织结构。在第一章,我们简要介绍第二章到第六章中所讨论的问题,及相关符号说明。受方程（2）在空间H2[0,T]中适应解的非唯一性启示,在第二章中我们引入对称解（简称S-解）的概念,给出此时方程的适定性。同现有的文献相比,我们推广且修正了[38]中的主要结论,通过数个例子给出了同[69]中M-解的区别和联系。最后,我们给出了一类由对称解所导出的关于过程的动态相容风险度量。同BSDE相比,由于BSVIEs结构复杂,且不具备半群性, Yong [69]引入四步方法来处理区间[0,T]上M-解的存在唯一性。然而,其思路过于复杂,进而很难处理更一般的比如停时或者无穷区间情形,故在第三章中我们引入新的简便的方法来研究BSVIE。通过一个简单的反例,我们修正和推广了[53]中关于M-解的结论。而对于空间HΔ2[0,T]中适应解,我们给出了随机非李普希兹条件下的适应解的存在唯一性,进而改进和推广了[38]和[66]中的结论。比较定理是SDEs和BSDEs理论中的基本课题,所以在第四章我们系统的研究了倒向随机Volterra积分方程关于HΔ2[0,T]适应解及H2[0,T]中M-解的比较定理。由于此研究框架的一般性,为了保证解比较定理成立,我们需要假设一些单调性条件。完整起见,我们也给出了关于SDEs, BSDEs和SVIEs解的比较定理,其中对偶原理在相关的证明中发挥了重要作用。同时,各种例子和反例也表明了此时所假设条件的必要性。在第五章,我们研究了关于正倒向随机VTolterra积分方程（简称FBSVIE）的最优控制问题。由于生成元g依赖于Z（s,t）而非Z（t,s）,故此问题有许多新的特性产生,而非对【50]中FBSDEs情形的简单推广,见下面第一章第四节。作为应用,我们考虑了线性二次问题和两个经济学模型,这深化了[7],[23]和[32]中的研究。最后我们给出一类特殊线性FBSVIEs的优化问题。特别的,这里的结论也改进了文献[45]。受[13]和[14]中平均场倒向随机微分方程的启示,在第六章中我们引入平均场倒向随机Volterra积分方程（简称MFBSVIE）,并讨论了空间Hp[0,T]中的M-解。若p>2,则生成元和相应的非局部项关于Z（s,t）需假设为次线性增长,且其假设的必要性又通过巧妙的例子来得到印证。据我们所知,这一点不同于BSDEs的Lp解理论。我们也给出了关于平均场SVIEs和平均场BSVIEs的对偶原理,并由此得出另一个有趣的结论。最后,利用正向方程的对偶原理,我们建立了相应方程最优控制问题的最大值原理。现在我们给出本论文的主要结论。1倒向随机Volterra积分方程的对称解及应用本章内容来自于以下文献,TIANXIAO WANG AND YUFENG SHI, Symmetrical solutions of backward stochastic Volterra integral equations and applications. published in Dis. Cont. Dyn. Syst. Series-B,14,2010,251-274.对于BSVIE（2）, Yong在空间H2[0,T]中引入如下的M-解,定义2.1.1令S∈[0,T]。若过程(Y（·）,Z（·,·）∈H2[S,T]满足方程（2）,且对于几乎所有的t∈[S,T],则称（Y（·）,Z（·,·）∈H2[S,T]为方程（2）的M-解。另一方面,由于第一章中例1.1.1可知方程（2）在空间H2[0,T]中的解不唯一,故这里我们引入如下对称解（简称S-解）的概念,定义2.1.2令S∈[0,T]。若过程（Y（·）,Z（·,·）∈*H2[S,T]满足方程（2）,且对于t∈[S,T],有Z（t,s）=Z（s,t）, t,s∈[S,T],则称（Y（·）,Z（·,·）∈*H2[s,T]为方程（2）的对称解。注意这里H2[S,T]是*H2[S,T]的子空间,且此新空间*H2[s,T]引入的必要性可参见下面的例1.1.2。这一章的主要结论为,定理2.1.4假设g关于y,ζ和z满足李普希兹条件,其中L为满足一定可积性的李普希兹函数,ψ（·）∈LFT2（0,T；Rm）,则方程（2）存在唯一的S-解,且对于S∈[0,T],利用定理2.1.4,我们可修正和推广Lin [38]中关于适应解的结论。而且通过注2.2.4,注2.2.5,注2.2.8中的若干例子,我们给出了S-解和M-解的区别和联系。最后,我们给出S-解在风险管理中的应用。准确来讲,通过定义ρ（t；ψ（·））=Y（t）,其中t∈[0,T],（Y（·）,Z（·,·））是方程（3）的对称解,我们有下面的结论,定理2.3.7假如f（t,s,y）=η（s）y,其中η（·）有界确定函数,则ρ（·）是关于过程ψ的动态相容风险度量。关于此时风险度量的定义,见第二章定义2.3.1和2.3.2。2倒向随机Volterra积分方程：新思路本章内容来自于文献YUFENG SHI AND TIANXIAO WANG, Solvability of general backward stochastic Volterra integral equations. Published in J. Korean. Math. Soc,49,2012,1901-1921.本章的第一个目的是提供更简便的思路来研究M-解。受El Karoui和Huang[25]的启示,我们在空间H2[0,T]中引入如下的范数,其中β是正常数,且是适应过程。这就有如下的关于M-解的估计,其中p∈[1,2）,其证明见以下引理3.2.1。然后,由不动点原理即可知区间[0,T]中解的适定性,定理3.2.4假如g满足|g（t,s,y,z,ζ）-g（t,s,y,z,ζ）|≤L（t,s）α（s）（|y-y|+|z-z|+|ζ-ζ|）这里ψ（·）∈LFT2,β（0,T；Rm）,1/p+1/q=1,α（·）是确定的,且A*（·）有界,则方程（2）在空间H2[0,T]中存在唯一的M-解。若g不含有Z（s,t）,则α可允许为随机过程,进而有,定理3.2.7假如定理3.2.4中条件成立,g不含有Z（s,t）,α为适应过程,A*（·）有界,则BSVIE （2）在空间HΔ2[0,T]上存在唯一的适应解。近来Ren [53]利用Anh和Yong [6]中的方法考虑了非李氏条件下M-解的存在唯一性。然而,其第7页的划分步骤存在问题,见下面的例3.3.1。故这里我们引入更弱的条件和不同的办法来修补此漏洞。利用上述范数,我们可得方程（2）在非李氏条件下M-解的存在唯一性,进而修正和推广了[6],[53]，[67],[68]和[69]。定理3.3.3对于（t,s）∈△,假如g满足|g（t,s,y,z,ζ）-g（t,s,y,z,ζ）|≤L（t,s）α（s）[（ρ（|y-y|2））1/2+|z-z|+|ζ-ζ|],其中ρ为R+到自身的递增凹函数使得为确定的,L（t,s）满足,则方程（2）在空间H2[0,T]上存在唯一的M-解。3倒向随机（?）Lolterra积分方程的比较定理本章的结论来自于,TIANXIAO WANG AND JIONGMIN YONG, Comparison theorem, of backward stochas-tic Volterra integral equations. Submitted to Stochastic Process and their application在这一章,我们将系统的研究多维倒向随机Volterra积分方程的比较定理。完整起见,我们首先考虑正向随机微分方程的情形,见[27],[51]。下面的结论是关于非线性SDEs,即对于i=0,1定理4.2.2.令bi,σ关于x李普希兹,bi（s,0）,σ（s,0）是有界过程。假如存在b使得bx（t,x）一致有界。若bx（t,x）∈R*+n, σx（t,x）∈Rdn×n,（t,x）∈[0,T]×Rn,（5）且b0（t,x）≤b（t,x）≤b1（t,x）。那么对于（s,xi）∈[0,T）×Rn,x0≤x1,方程（4）唯一的解Xi（·）三Xi（·；s,xi）满足X0（t）≤X1（t）,t∈[s,T]。反过来,若b0（t,x）=b（t,x）=b1（t,x）,（t,x）∈[0,T]×Rn,且（t,x）（?）（b（t,x）,σ（t,x））连续。那么（5）对于比较定理的成立是必要的。现在我们研究非线性BSDEs.考虑n-维BSDEs其中i=0,1,τ为取值于[0,T]上的F-停时,定理4.2.4.假如gi关于y和z满足李普希兹条件,gi（s,0,0）有界。若存在g使得gy（s,y,z）,gz（s,y,z）一致有界。而且gy（s,y,z）∈R*+n×n, gz（s,y,z）∈Rdn×n,（s,y,z）∈[0,T]×Rn×Rn,（7）g0（s,y,z）≤g（s,y,z）≤g1（s,y,z）。则对于任意F-停时τ及ξ0,ξ1∈LFτ2（Ω；Rn）,其中ξ0≤ξ1,方程（6）的解（Yi（·）,Zi（·））满足Y0（t）≤Y1（t）,t∈[0,τ]。反过来,若g0（s,y,z）=g（s,y,z）=g1（s,y,z）,（s,y,z）∈[0,T]×Rn×Rn,（s,y,z）（?）g（s,y,z）连续,则条件（7）也是必要的。由于这里g0（·）和g1（·）在充分条件的证明中是不同的,故推广了[29]中相应结论。最后,我们指出这里的证明是基于对偶性原理及线性SDEs的相关结论,这不同于文献[29]。现在我们考虑正向随机Volterra积分方程,命题4.2.8.若A0,A1有界,t→A0（t,s）在区间[s,T]上连续。（ⅰ）假如A0（t.s）∈R+n×n,41（s）=0,（t,s）∈△*.那么（8）存在唯一解X（·）且它满足X（t）≥φ（t）≥0,t∈[0,T]。（ⅱ）假如A0（t,s）∈R*+n×n,A1（s）∈Rdn×n,这里（t,s）∈△*。而且,存在连续非递减函数ρ：[0,T]→[0,∞）,ρ（0）=0使得|A0（t,s）-A0（t’,s）|≤ρ（|t-t’|）,t,t’∈[0,T],s∈[0,t∧t’],A0（τ,s）-A0（t,s）∈R+n×n,其中0≤s≤τ≤T。则对于任意的φ（·）∈CF（[0,T]；L2（Ω,Rn））,φ（τ）≥φ（t）≥0,0≤s≤t≤τ≤T,方程（8）存在唯一的解X（·）∈CF（[0,T]；L2（Ω；Rn））,且它满足X（t）≥0,t∈[0,T]。现在回到关于BSVIEs的比较定理,由于其形式复杂,故这里的理论要比BSDEs情形更加丰富。首先,考虑BSVIE（2）,其中g（·）不依赖于Z（s,t）。对于i=0,1,定理4.3.2.若（Yi,Zi）是方程（g）的解。g：△×R×Rn×Ω→Rn满足某种可测性,（y,z）（?）g（t,s,y,z）一致李普希兹,y（?）g（t,s,y,z）是非递减的,使得g0（t,s,y,z）≤g（t,s,y,z）≤g1（t,s,y,z）,（t,s,y,z）∈△×Rn×Rngz（t,s,y,z）存在,且gz（t,s,y,z）∈Rdn×n.则对于任意满足ψ0（t）≤ψ1（t）的ψi（·）∈CFT（[0,T]；L2（Ω；Rn））,BSVIE （9）相应的解满足Y0（t）≤Y1（t）.若我们考虑下面的线性方程,则上述定理4.3.2意味着A（t,s）应该属于R+n×n。然而,事实上,我们可以改进此条件如下,定理4.3.6.若A和B一致有界,且对于s∈[0,T],t（?）A（t,s）连续。而且A（t,s）∈R*+n×n,这里（t,s）∈△,A（t,s）-A（τ,s）∈R+n×n,0≤t≤τ≤s≤T,B（s）∈Rdn×n∈[0,T]。则对于任意的ψ,（·）∈CFT（[0,T]；L2（Ω;Rn））,其中ψ,（t）≥ψ,（s）≥0,0≤t≤s≤T,线性BSVIE（10）的解（Y（·）,Z（·,·））满是Y（t）≥0,t∈[0,T]。第二种情形是考虑当g（·）依赖于Z（s,t）而非Z（t,s）时的M-解。下面的例4.3.8表明我们应该考虑如下线性BSVIEs的M-解的比较定理,定理4.3.9.若A和C一致有界,且对于s∈[0,T],t（?）A（s,t）连续。而且A（t,s）∈R*+n×n,（t,s）∈△,4（s,τ）-A（s,t）∈R+n×n,s≤t≤τ≤T,s∈[0,T],C（t）∈Rdn××n,t∈[0,T]。则当ψ（·）∈CFT（0,T；L2（Ω；R,n））且ψ（·）≥0,线性BSVIE （11）的解（Y（·）,z（·,·））满足这里更正了文献[67]和[68]中的相应结论。4正倒向随机Volterra积分方程的最大值原理及应用本章内容来自于,YUFENG SHI, TIANXIAO WANG AND JIONGMIN YONG, Optimal control problem of forward-backward stochastic Volterra integral equations and applications. preprint在这一章,我们给出正倒向积分方程最优控制问题的最大值原理。准确来讲,我们记状态方程为指标函数表示为,这里给定s∈[0,T],λv由确定。当控制区域为凸集合时,我们要最小化上述指标函数。定理5.2.3假如u（·）是最优控制,（Xu（·）,Yu（·）,Zu（·,·））是相应的FBSVIE （12）的M-解。那么我们有,（?）v∈U,H（t,Xu（t）,Yu（t）,Zu（t.·）,u（t）,P（t）,Q（t）,R（·,t））·（v-u（t））≥0,0.e.,a.s.其中（P,Q,R）是以下FBSVIE的M-解,由于此时我们不能使用伊藤公式,故这里的方法绝不是对[50]情形的直接推广同经典文献[49]和[50]相比,在我们的问题中会有一些新的特性产生,见第一章第五节。之后,我们给出关于FSBVIEs的线性二次控制问题,而且在某些条件下它可以退化成[50]中的FBSDEs’情形。而且这里关于BSVIE的线性二次问题的研究也是新的。作为应用,我们在线性FBSVIE的框架下研究两个经济学模型,即随机投入-产出模型和随机资本转换（或重置）模型,这发展和深化了[7],[23]和[32]中的相关研究。对于前一个模型,状态方程和指标函数可表示为（12）和（13）,其中b=h1（t.s）v（s）,σ=h2（t,s）v（s）,φ（t）=x（0）,9=-h1（T,,s）v（s）+f（t）z（s,t）-f（t）[T-s]λ（s,t）[f（s）h2（T,s）+h1（T,s）],l=δ[y-[T-s][h2（T,s）f（s）+h1（T,s）M,h（x）=-U（x）。对于倒向方程中入v（s,t）的出现,见下面5.3.2部分。所以我们有下面的结论,定理5.3.2假如u（·）是最优解,那么对于t∈[0,T]，这里对于随机资本转换模型,状态方程为（12）,其中b=M（t-s）v（s）,σ=N（t-s）v（s）,φ（t）=0,夕=-h1（T,s）v（s）+f（t）Z（s,t）-f（t）[T-s]λ（s,t）[.f（s）h2（T,s）+h1（T,s）].且指标函数为（13）,其中l=δ[y-[T-s][h2（T,s）f（s）+h1（T,s）M-α（t）[P’（s,x）-v],所以,我们有下面的结论,定理5.3.4若u（·）是最优解,那么对于t∈[0,T],L由模型确定。特别的,若p（t,x）=x-r/2x2,γ>0,则（14）也可表示为,最后,我们研究了一个特殊的优化问题,其中状态方程和指标函数为（12）和（13）,其中φ=x0,b=α（s）v（s）,σ=β（s）v（s）,g=--l1（s）x+l2（s）v+r（s）y+kr（s）ζ,l=-l1（s）x-l2（s）v+2r（s）y,h（x）=-h’（x）,则定理5.3.5假如u是最优解,h’（x）=x-r/2x2,a,α-,β,β-1是有界过程使得Ee-A（T）|Xu（T）|<∞,这里4和W定义为,那么对于其中M1是由系数决定的适应过程,u（·）可表示为,5平均场倒向随机Volterra积分方程及应用本章内容来自于,YUFENG SHI,TIANXIAO WANG AND JIONGMIN YONG,Mean fueld backward stochastic Volterra integral equations,.被杂志Dis.Cont.Dyna.Syst.Series B.接受在这一章,我们研究如下形式的倒向方程,其中定理6.3.2.假如θ和g满足李普希兹条件,且|θ（t,s,y,z,z,y’,z’,z’）|≤L（1+|y|+|z|+|z|2/q+|y’|+|z’|+|z’|2/q）|g（t,s,y,z,z,γ）|≤L（1+|y|+|z|+|z|2/q+|γ|）,其中2≤g<∞。则对于任意的ψ（·）∈LFTq（0,T；Rn）,方程（15）存在唯一M-解（Y（·）,Z（·,·））∈Mq[0,T],且下面的估计成立,当p∈(1,2],Wang[61]讨论了BSVIEs的Lp解。当然我们也可利用[61]中的方法来处理p∈（1,2）的情形。另一方面,若映射口是关于z和z’线性增长,尽管ψ（·）∈LFTp（0,T；Rb）,方程（15）的M-解（Y（·）,Z（·,·））有可能不属于MP[0,T],p>2,见下面的例6.3.3。下面我们给出关于平均场SVIEs和平均场BSVIEs的对偶原理。首先,考虑方程我们有下面关于平均场SVIEs的结论,定理6.4.1.假如φ（·）,ψ,（·）∈LF2（0,T；Rb）,X（·）∈LF2（0,T；Rn）是方程（16）的解,且（Y（·）,Z（·,·））∈M2[0,T]是如下方程的M-解,则接下来,我们由平均场BSVIEs开始,现在我们给出关于平均场BSVIEs的对偶原理。定理6.4.2.假如ψ（·）∈LFT2（0,T；Rn）,（Y（·）,Z（·,·））是方程（17）的M-解。而且X（·）∈LF2（0,T；Rb）满足则由前面的对偶原理,我们有下面有趣的结论,即平均场SVIEs的二次对偶方程仍为其本身,但是平均场BSVIEs的二次对偶方程却不再是它自己。最后,我们考虑平均场SVIEs的最优控制问题,其中指标函数定义为,这里我们的目的在于最小化上述指标函数。定理6.5.1.假如b,σ,Γ,Γσ满足一定的可侧性,李普希兹条件,线性增长条件,及（X（·）,u（·））是此控制问题的最优对。则对偶方程（20）存在唯一的M-解（y（·）,Z（·,·））∈M2[0,T]使得下面的变分不等式（21）成立,