众所周知,双曲空间HN作为负常截面曲率黎曼流形的代表与N维单位球面SN,N维欧氏空间RN构成了在相似等价意义下的常截面曲率完备单连通N维黎曼流形的一个分类[46,定理8.6.2].近年来双曲空间上的偏微分方程在国际上受到越来越多的关注.双曲空间上的波方程[47],薛定谔方程[7,8,2],椭圆方程[38,11,5],双曲空间及其子区域上的热方程[6,45]已经或正在成为研究的热点.欧氏空间上某些重要结果被成功推广的同时,人们更看到了双曲空间上的偏微分方程还具有许多独特的现象.本文研究如下双曲空间上半线性热方程Cauchy问题解的动力学行为其中p>1,a>0,u0∈C（HN）∩L∞（HN）,u0（x）≥0.本文的第一部分考虑空间的整体几何性质对解特别是小初值情形下解的长时间行为的影响.值得注意的是,当α=0时,如果在欧氏空间或非负Ricci曲率的流形上考虑上述问题,则必然存在Fujita指标[20,53],而在双曲流形上这个指标是不可能存在的,见本文引理2.2.1.当α>0时,Bandle, Pozio和Tesei [6]证明了存在临界指标pH*=1+λ0-α,其中λ0=（2-N-1）2,使得当1<p<pH*时所有的非负非平凡解都在有限时间爆破,当p>pH*时或者当p取临界指标pH*且α>3-2λ0时,既存在正的全局小解,又存在有限时刻爆破解.当p=pH*且α≤3-2λ0时,他们给出了爆破解的存在性.我们在第二章证明了当p=pH*且0<α≤3-2λ0时全局小解的存在性.这一结果与文[6]的结果相结合,不仅给出了问题（1）的Fujita指标问题的完整刻画,还揭示了区别于欧氏空间和具非负Ricci曲率流形上同类问题的一个新现象：问题（1）的Fujita临界指标不是爆破指标.空间的几何特征给这一结论的证明造成了区别于欧氏空间的本质困难.我们通过一个适当的变换,使得方程右端不显含时间变量,然后借助双曲空间上椭圆方程的理论来构造全局上解.作为本文的第二部分,我们考虑空间的局部几何性质对问题解的影响.我们揭示了欧氏空间上半线性热方程的一些已有深入研究的由空间的局部性质决定的结果在双曲空间上仍然成立,例如大初值爆破解的生命跨度.爆破集和解在爆破之后的可延拓性.据我们所知,这是首次在流形上讨论这些问题.我们在第三章研究解的生命跨度和初值衰减率间的关系.第四章讨论解的爆破集合,证明具有径向递减初值的解的爆破集是单点集.第五章讨论解爆破之后的延拓问题,给出了完全爆破（即解不能再爆破时间之后做有界延拓）的充分条件.这部分的结果表明如果某种性质是由短时间局部的爆破决定的,那么双曲空间和欧氏空间上热方程的行为相近.以上问题与欧氏空间中类似问题的区别主要体现在以下两个方面.一方面,双曲空间上的热核与欧氏空间中的热核有明显的区别,特别是高维情形.而方便用于估计的热核的近似表达式和欧式空间的热核相比因具有关于位置和时间额外的非线性项也使得与热核相关的估计更加复杂.另一方面,与欧氏空间的不同之处还表现在,双曲空间上的热方程不具有伸缩不变性.因而,无法使用许多依赖方程的伸缩不变性和空间的伸缩变换相配合的证明技巧.我们使用更细致的分类估计结合热核的半群性质,并通过考虑局部上解来克服这些困难.