扩散方程是一类非常重要的偏微分方程,自然界中来源于物理、化学、经济和生物等领域的大量现象都可以用扩散方程数学模型来刻画.近年来,国内外愈来愈多的数学家、化学家、物理学家和生物学家关注于扩散方程领域的研究,对数学提出了许多挑战性的问题.对于扩散方程（组）解的整体存在、爆破、熄灭、爆破的临界指标、爆破时间、熄灭时间以及熄灭速率等问题的研究已成为偏微分方程理论研究中的一个重要方向.本文主要研究具有正的初始能量非线性抛物方程解的爆破,双重退化非线性抛物方程解的整体存在和爆破,快扩散非线性抛物方程解的熄灭及衰退估计.本文共分四章,主要内容如下：第一章为绪论,主要介绍了所研究问题的实际背景和国内外的相关研究工作,并阐述我们所要讨论的问题及使用的方法.在第二章中,我们研究了具有正初始能量非线性抛物方程解的爆破.首先考虑一类渗流方程这里Ω是RN,（N≥3）中具有光滑边界（?）Ω的有界区域,m>1.初值u0∈L∞（（Ω）∩W1,p0（Ω）,且u0（x）≥0,f（u）≥0是连续函数且满足由于该方程是退化的抛物方程,不一定存在古典解,且解的局部存在性也不能直接根据经典理论得出.我们首先利用正则化的方法,结合先验估计给出问题（1）弱解的局部存在性；其次,证明当初始能量为正数时,问题（1）的解在有限时刻爆破.对问题（1）的研究,前人是借助比较原理,通过构造上下解的方法给出解是爆破的.一般情况下,比较原理不成立,而且构造上下解的方法比较复杂.我们通过构造能量泛函的方法,证明当初始能量为正数时,问题（1）的解是爆破的.引进能量泛函主要结果如下：定理1.（局部存在性）假设h（s）∈C1（R）,条件（A1）成立,f（s）∈C（R）且满足则对于任意初值u0∈L∞（Ω）∩W1,p0（Ω）,都存在T’∈（0,T）使得问题（1）存在弱解u且um∈（Ω×（0,T’））∩L2（（0,T’）；Ⅱ10（Ω）,（um+1/2）t∈L2（Ω×（0,T’））.定理2.（爆破）假设N>2,2<r≤2N/N2,（?）（s）满足（A1）且sMF（s）≥rF（s）≥|s|mr；进一步,若um0≥0且E（0）<E1,那么问题（1）的解u（x,t）在有限时刻爆破.这里E1（1/2-1/r）B-2r/r-2.在第二章第二部分中,我们研究具有变指数源半线性热传导方程我们证明当初始能量为正数时,方程（2）的解是爆破的,其中Ω（?）RN（n≥3）是有界区域,（?）Ω是Lipschitz连续,且u0（x）≥0.p（x）满足由于源项函数含有变指数,导致齐次性缺失,不能进行伸缩变换.在变指数函数空间中,模与范数之间存在空隙,前人研究具有正初始能量方程解的爆破方法失效.为了克服这些困难,我们需要构造新的控制函数并借助模与范数之间的关系,证明当初始能量为正数时,具有变指数源半线线性抛物方程解是爆破的.引入能量泛函关于问题（2）主要结果如下：定理3.（爆破）假设p（x）满足条件（A2）,且下面条件成立那么问题（2）的解在有限时刻爆破,其中α1满足这里B为最优嵌入常数.由于技术原因,当1<p-≤（?）2p--1,且初始能量为正数时,不能断定问题（2）的解是否爆破.在第二章第三部分,我们研究具有变指数源拟线性方程其中Ω（?）RN（n≥3）是有界区域,边界（?）Ω是Lipschitz连续的且uo≥0,m>0由于变指数源和拟线性项△um的存在,需要根据方程的具体形式,重新构造单调递减的能量函数.又由于在变指数空间中,模和范数之间存在空隙,且控制函数不可微.我们需重新构造一个分段函数,将我们所研的爆破问题转化为常微分方程解的爆破问题.借助辅助函数的方法结合Sobolev嵌入不等式,并给出爆破时间下界估计.引入能量泛函关于问题（3）我们得到如下两个结果：定理4.（爆破）假定初始能量E（0）<E1,||▽u0m||22>α1,p（x）满足条件（A2）,且m<p-≤p（.）≤p+≤m（N-2/N-2）,（N≥3）,那么问题（3）的解在有限时刻爆破.其中定理5.（爆破时间下界）假设u（x,t）是问题（3）非负弱解,Ω（?）Rn（n≥3）是有界区域.引进函数其中k定义如下：κ>max{2（n-2）（p+-1）-1/2（m-1）n,m+1）.如果u（x,t）在有限时刻T爆破,则T有下界这里k1,k2,m1,m2和ε是常数,且定义如下：在问题（3）中,当m=1时,问题（3）便是问题（2）.在定理4中所得结果,将问题（2）中变指数源的取值范围从N+2（?）2p--1<p-≤p+≤N+2/N2推广至（?）1<p-≤p（.）≤p+≤N-2由于热源对爆破起着促进作用,冷源对爆破起着抑制作用.在第三章我们讨论如下具有非局部源和内部吸收项的双重退化抛物方程组其中p,q>2,m,n≥1,r1,r2,s1,s2≥1,α,β≥0,Ω是RN中的有界区域,N>1边界（?）Ω光滑.初值u0（x）,v0（x）满足下面相容性条件问题（4）是牛顿渗流系统与非牛顿渗流系统二者的综合.对于问题（4）,我们通过构造上下解的方法,给出解爆破的临界指标.该问题的难点在于,上下解的构造应结合牛顿流流系统与非牛顿流系统.由于内部吸收项的存在,在构造爆破下解时,需要构造新的常微分方程.令μ=max{m（p-1）,s1）,κ=max{n（q一1）,s2}主要结果如下：定理6.假设r1r2<μκ,那么问题（4）的非负弱解整体存在.定理7.假设r1r2>μκ,那么对于大初值问题（4）的非负弱解在有限时刻爆破；初值充分小时,问题（4）的非负弱解整体存在.定理8.假设r1r2=μκ,（?）（x）和ψ（x）满足下列方程-div（|▽（?）m|p-2▽（?）m）=1, x∈Ω；(?（x）=1, x∈（?）Ω,和-div（|▽（?）n|q-2▽（?）n）=1, x∈Ω；(?（x）=1, x∈（?）Ω,则有（a）假设s1>m（p一1）且s2>n（q一1）,如果αr2βs1≥|Ω|r2+s1,那么对于小初值,问题（4）的弱解整体存在；如果∫Ω（?）r1dx>α（?）s1,∫Ω（?）r2dx>βΨs2,那么对于充分大的初值,问题（4）的弱解在有限时刻爆破.（b）假设s1<m（p-1）且s2<n（q-1）,如果（∫Ω（?）r1dx>1/r2·（∫Ω（?）r2dx）1/m<p,1）≤1,那么对于小初值,问题（4）的弱解整体存在；如果∫Ω（?）r1dx>1,∫Ω（?）r2dx>1,那么对于充分大的初值,问题（4）的弱解在有限时间爆破.（c）假设s1<m（p-1）且s2>n（q-1）,如果∫Ω（?）r2dx≤β|Ω|-s2/r1,那么对于小初值,问题（4）的弱解整体存在；如果∫ΩΨr1dx>1,∫ΩΨr2dx>αΨs2,那么对于充分大的初值,问题（4）的弱解在有限时间爆破.（d）假设s1>m（p一1）且s2<n（q一1）,如果∫ΩΨr1dx≤α|Ω|-s1/r2,（?）么对于小初值,司题（4）的弱解整体存在；如果∫ΩΨr1dx>α（?）s1,∫Ω（?）r2dx>1,那么对于大初值,问题（4）的弱解在有限时间爆破.在第四章中,我们考虑具有非线性吸收项的非线性抛物方程解在有限时刻熄灭.吸收项是冷源,催进了方程解的熄灭,由于吸收项是非线性项,我们借助Lp模估计和Gagliardo-Nirenberg内插不等式,给出了具有非线性吸收项快扩散方程解熄灭充分条件及衰退估计.我们首先考虑具有非线性吸收项的快扩散渗流方程其中0<m<1,0<q<1,p,λ,β>0,Ω（?）RN是边界光滑的有界区域.假设0<u0（x）∈L∞（Ω）∩W01,2（Ω）,λ1是如下方程的第一特征值其中（?）1（x）≥0且||（?）1||L∞（Ω）=1是对应于第一特征值λ1的特征函数.主要结果如下：定理9.设0<m=p<1,λ1是（6）的第一特征值,则有（1）如果N4/N≤M<1且λ<4mλ1/（m+1）2,则问题（5）的弱解在有限时刻熄灭,且有如下估计其中T1=||u0||2-κ12/C1（2-κ1）,κ1=（1-m）（1+q）/（1|m）|（qm）θ1=（m+1）（q+1）[1/q+1-N2/N（m-1）]/（m+1）（1/q+1）-（N2/N（m-1））+（q-m）（1/q+1-1/2）（2）如果0<m<（N-4）/N,则问题（5）的弱解在有限时刻熄灭,且有如下估计数λ充分小时,则问题（5）的非负弱解在有限时刻熄灭.在第四章第二部分我们研究了具有非线性吸收项和非局部源快扩散的p-Laplace方程解的熄灭及衰退估计.我们研究如下问题这里1<p<2,κ,q,λ>0,0<r<1,Q （?）RN,（N≥2）中的有界区域,（?）Ω充分光滑,u0（x）∈L∞（Ω）∩W1,p0（Ω）是非负函数.我们借助常微分方程解的熄灭及衰退估计、Lp模估计以及Gagliardo一Nirenberg内插不等式,针对问题（7）得到如下两个结论：定理11.假设p-1=q且r<1,则当|Ω|或λ充分小时,问题（7）的非负非平凡弱解在有限时刻熄灭且（1）当2N/N+2≤p<2时,我们有（2）当1<p<（2N）/（N+2）时,我们有定理12.假设r<1,么问题（7）的非负非平凡弱解在有限时刻熄灭且