本论文共四章。第一章是引言，首先简单回顾了经典的B(a)cklund变换，这是三维欧氏空间中伪球面之间的一种变换，利用该变换可以构造很多有趣的伪球面;然后介绍了经典B(a)cklund变换的若干推广，如高斯曲率和平均曲率满足线性关系曲面上的B(a)cklund变换;最后指出本文所研究的主要问题。第二章是预备知识，指出了对于三维欧氏空间中的曲面，其Gauss-Codazzi方程是Gauss-Weingarten方程的可积条件，因此Gauss-Weingarten方程是Gauss-Codazzi方程的Lax对，并且利用SO(3，(R))和SL(2，C)之间的同构，可以得到基本方程2×2矩阵形式的Lax对。第三章是本文的主要内容，讨论三维欧氏空间中主曲率κ1和κ2满足二次函数关系的Weingarten曲面的可积性，得到其Gauss-Codazzi方程的完全分类，并给出了相应的Lax对。为了叙述方便，记κ1=k，κ2=f（k）=mk2+（n+1）k+l，f（k）-k=mk2+nk+l=m（k+n/2m）2+4ml-n2/4m.　　本文分n2-4ml=0，n2-4ml＞0，n2-4ml＜0三种情形进行讨论，得到如下结果:　　1.当n2-4ml=0时，满足条件的Weingarten曲面的基本方程为1/m[kte2/mk+n/2]t-1/m[2mk+n+1/(k+n/2m)4kxe2/mk+n/2]x=-km(k+n/2m)2+k/(k+n/2m)2+k/(k+n/2m)2,其Lax对为ux=-1/mkte2/mk+n/2-ike-1/mk+n/2sinu,ut=-1/m2mk+n+1/(k+n/2m)4kxe2/mk+n/2-im(k+n/2m)2+k/(k+n/2m)2e1/mk+n/2cosu.　　2.当n2-4ml＞0时，满足条件的Weingarten曲面的基本方程为[[k-p/k-q]2/m(p-q)kt]t-[2mk+n+1/m2(k-p)2(k-q)2(k-p/k-q)-2/m(p-q)kx]=-km(k-p)(k-q)+k/m(k-p)(k-q),其Lax对为ux=-(k-p/k-q)2/m(p-q)kt-ik(k-p/k-q)1/m(p-q)sinu,ut=-2mk+n+1/m2(k-p)2(k-p)2(k-p/k-q)-2/m(p-q)kx-im(k-p/k-q)+k/(k-p/k-q)(k-p/k-q)-1/m(p-q)cosu.　　3.当n2-4ml＜0时，满足条件Weingarten曲面的基本方程为(kte2/mparctan(k/p+n/2mp))t-(2mk+n+1/(mk2+nk+l)2kxe-2/mparctan(k/p+n/2mp))x=-mk+(n+1)k+l/mk2+nk+l,其Lax对为ux=-kte2/mparctan(k/p+n/2mp)-ike1/mparctan(k/p+n/2mp)sinu,ut=-2mk+n+1/(mk2+nk+l)2kxe-2/mparctan(k/p+n/2mp)-imk2+(n+1)k+l/mk2+nk+le2/mparctan(k/p+n/2mp)cosu.　　第四章对以上三种情形Lax对的可积性进行验证。