长期以来，通过矩阵的秩来研究矩阵的奇异性以及矩阵方程的解，邋过矩阵的惯性指数来研究矩阵的正定性一直是矩阵代数中的重要课题许多著名的专家学者都致力于这方面的研究，而且获得大最的研究成果.本文从上述角度研究了某线性和非线性厄米特砸阵函数，获得了许多新的有意义的结果，并发现秩与惯性指数也是研究砸阵函数的稳定性和极值等分析问题的重要的工具之一，根据这一结果相应地研究了一些矩阼函数的优化问题这些结果进一步丰富和发展了矩阵代数理论全文共分为四章，第一章介绍了本文的研究背景，所做的丰要]：作以及所需的预备知识第二章研究了厄必特缶巨阵函数，f（X,Y）=P-QXQ*-TyT*的秩与惯性：指数，其中，（X,Y）是AX=B,YC==D厄米特解作为心用：推导的极人矩阵存在的充分必要条件，当存在条件满足时，给出H的极人矩阵的具体表达，此时，我们还可以证明，即便（X，Y）变化，矩阵函数是稳定不变的，我们的数例阐述和论证了这一结果；得至方程组AX=B,YC=D，QXQ*+TyT*=P有厄米特解，AX=B，QxQ#=p有双对称解的充分必要条件以及解的表达另外，我们还给出了厄米特矩阵函数f（X，Y）=P-QXQ*-TYT*…受限于AX=B,XC=D非m定解的秩与惯性指数范围第三章，我们先考虑矩阵函数f（x）=P-MXN+（MXN）*和9（x）=Q-MXN+（MXN）*,其中P是厄米持矩阵，Q是斜厄米特矩阵，x是AX=G，XB=D的一般解然后刻匿经赎方程组AX=G ,XB=D的解的实和斜厄米特部分，给出H（X）=X+X*与s（X）=j（X*-X）的板夫和极小秩以及极惯性指数，其中j2= -l作为应用，进一步考虑AX=B。XG=D存在实一（半）正定解，实一（半）负定解，实一非奇异解的充分必要条件.并且，我们给出如下的矩阵函数集存在板火和极小矩阵的充分必要条件.当条件成立时.函数是稳定的此时函数集G只有一个元．我们给出这个元的表达第四章，关于方程组AX=B。XG=D,我们构造新的拟二次厄米特结构，也就是：p（X）=XX*- P, q（X）=X*X-Q ,其中，P=P*，Q=Q*,X是Ax=B,．XG=D的解我们研究p（X）/q（X）的秩与惯性指数作为用：给出了p（X）/Q（x）是正定（负定），半正定（负定），非奇异的充分必要条件；其特殊情况，诸如AX=B，XC=D有（严格）睚缩解，有西解的充分必要条件也给予了考虑；得出XX*- P受限于AX=B，XC=D时存在极小左右矩阼的充分必要条件，以及存在极小短阵时解的表达，并论证了XX*P受限于AX=B，XC=D时不仔在极大左右矩阵进一步，找刚给出了厂算法和数值例予来阐述我们的结果