本文研究分支理论在具有时滞的微分动力系统上的应用。在物理学、生态学、流行病学、社会经济学、神经网络等许多学科中提出了大量具有时滞的微分方程模型，理解这类模型的动力学性质具有非常重要的意义。 首先，本文从一个新的角度对Hale关于函数空间分解的理论进行了阐述，并将其与Hassard的Hopf分支计算方法结合在一起，从而明确了Hassard方法中具有时滞的微分方程的Hopf分支周期解的稳定性和分支方向的判定计算的理论依据。在论述Hassard计算方法时，将顺序重新进行了安排，使之更简明扼要。本文这一部分的工作对促进这一理论的应用和发展有重要意义。 其次，本文研究了一类重要的具有时滞的Hopfield神经网络，给出了n神经元系统出现Hopf分支的条件，特别对三神经元系统进一步给出了Hopf分支判定条件、分支周期解的分支方向和稳定性判据，这是最早将Hassard方法用于时滞神经网络的研究。 另外，本文研究了一个四阶时滞免疫学模型，给出了其平衡点的存在性、稳定性、Hopf分支周期解的存在条件，以及周期解分支的方向和周期解的稳定性，从而从理论上证实了生物免疫学家从试验和数值计算得到的病毒和T淋巴细胞存在低水平共存的现象，为理解该模型所反映的免疫学的规律性提供了理论依据。用Hassard方法对四阶时滞微分方程的研究在国内外均未见报道。 最后，本文研究了具有捕捞的阶段结构两种群竞争模型。两种群的生命阶段分为未成熟期和成熟期，只有在成熟期时，种群具有竞争力。捕捞是对成熟种群进行的，并且捕捞量与不同时刻的捕捞成本和价格有关。这个模型是一个六阶时滞微分方程。本文研究了该系统解的非负性、有界性。出现九个平衡点的参数条件，分析了平衡点的稳定性。并指出在这种参数条件下，不存在Hopf分支。本文还就最优捕捞策略进行了讨论。该研究的结果是新的。