Frobenius范数的推广及矩阵低秩逼近问题

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本文首先推广了矩阵的Frobenius内积的定义,接着诱导出矩阵的Frobenius范数,且在新的矩阵范数意义下证明了其矩阵空间是一个严格凸的赋范线性空间.在上述研究工作的基础上,本文进一步研究了在矩阵的Frobenius范数意义下,高阶矩阵的低秩逼近问题.  通过提出秩为一矩阵的线性组合来最佳逼近给定的高阶矩阵,证明了这些秩为一的矩阵线性张成所构成矩阵空间的维数等相关性质.然后证明了此矩阵空间是严格凸的赋范线性空间,进而证明了本文研究的矩阵最佳低秩逼近解存在且唯一.  通过截断QR分解算法选取出初始向量,然后根据本文证明了的重要定理计算出最佳逼近解.最后基于截断QR分解算法,讨论了高阶矩阵最佳低秩逼近问题在人脸识别中的简单应用.
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