近年来,越来越多领域的数学模型需要引入分数阶微积分这一新的数学工具进行描述,如材料、金融、力学、生物系统、信号与图象处理等。但是,和整数阶微分方程相比,分数阶微分方程的数值解法较少,已有的一些数值解法的精度较低,因而,研究分数阶微分方程的高精度数值解法非常必要。本文针对分数阶扩散波动方程和分数阶微分方程组,给出了两种精度较高的数值算法,同时降低了计算量。全文组织结构如下:第一章介绍分数阶微积分的一些基本定义和性质。第二章基于时间分数阶扩散波动方程的等价积分形式,采用分数阶梯形法和Crank-Nicolson方法,对时间分数阶扩散波动方程设计了一个有限差分格式,此格式在时间方向和空间方向都具有二阶精度,并且计算稳定。数值算例验证了该格式的精度和效果。第三章在处理带有Caputo导数算子的分数阶微分方程组的初值问题时,首先将其转化为与之等价的Volterra积分方程组,通过低阶方法求得一个初始的近似解,导出残差方程和误差方程,应用谱延迟校正的逐步修正的思想提高解的数值精度,同时利用Richard Askey积分方程来减少计算量。最后,通过数值实验来验证新方法的高精度和有效性。