本文主要研究本原几乎可约矩阵的k-顶点指数。采用图论的语言来描述、用图论的技巧和方法来研究问题。研究本原几乎可约矩阵的k-指数等价于研究本原极小强连通有向图的k-指数。1982年，J.A.Ross[1]刻划了围长为g的n阶本原极小强连通有向图的本原指数(n-指数)最大值exp(PMSDn,g，n)和极图～exp(PMSDn,g，n)。1991年，邵嘉裕等[2]刻划了n阶本原极小强连通有向图的本原指数集(n-指数集)(exp(PMSDn，n).1999年，柳柏濂[3]刻划了最大值exp(PMSDn,k)，2002年周波[4]刻划了极图～exp(PMSDn，k)，但k-指数集exp(PMSDn，k)(1≤k≤n-1)还没有被研究。2000年，苗正科[5]在其博士论文中将刻划k-指数集exp(PMSDn，k)(1≤k≤n-1)列为没有解决的公开问题，2002年周波[4]也指出这是一个有意义而困难的问题.本文将J.A.Ross在[1]中的结果推广到了k顶点指数，并完全地刻划了exp(PMSDn，1)。 在第一章，介绍了一些最基本的概念和广义本原指数的研究进展。 在第二章，研究了围长为g的n阶本原极小强连通有向图的k-指数。得到了这类图的k-指数的最大值exp(PMSDn,g，k)，同时也刻划了极图～exp(PMSDn,g，k)。利用这个结果，还可以很简便地得到exp(PMSDn，k)和～exp(PMSDn，k)。 在第三章，研究了本原极小强连通有向图的1-指数.并得到了如下一些结果： (1)在3.1节，研究了含三个以上圈长的n阶本原极小强连通有向图1-指数的上界，证明了：当n≥14且|LD)|≥3时，expD(1)≤1/2(n2-7n+16)。 (2)在3.2节，建立了连续p-圈、连续p-圈覆盖和连续p-圈链等一系列新概念，通过研究其性质以及本原极小强连通有向图的一些新性质，得到了|L(D)|={p，q}(3≤p＜q，p+q＞n)时的n阶本原极小强连通有向图1-指数的下界。 (3)在3.3节，刻划了|L(D)|={p，q}(3≤p＜q，p+q＞n)时的n阶本原极小强连通有向图1-指数集. (4)在3.4节，证明了：当n≥14时，[4，…，1/2(n2-7n+16)]中的任一个数是某个恰含两圈长的n阶本原极小强连通有向图的1-指数。 (5)在3.5节，给出了n阶本原极小强连通有向图的1-指数下界expD(1)≥4。并完全刻划了n阶本原极小强连通有向图的1-指数集(expD(PMSDn,1)和恰含两个圈长的n阶本原极小强连通有向图的1-指数集(expD(PMSDn(2),1)：exp(PMSDn,1)=(exp(PMSD(2)n，1)=S1∪S2∪S3，其中S1=[4，…，1/2(n2-7n+16)]，S2=∪[(p-1)(q-1)+1，…，(p-1)(q-1)+n-p]，6≤p＜q≤n-1q+「p+q＞nq-2/p-2≤nS3=∪[p(q-1)-(n-q)(p-2)，…，(p-1)(q-1)+n-p].6≤p＜q≤n-1q+「q-2/p-2」＞n。