近几十年来,分数阶微积分理论逐渐引起研究人员的重视并得到迅速发展,相对于传统整数阶微积分理论,分数阶导数理论框架下的数学模型更适用于模拟力学和工程建模中的复杂现象,能够对复杂环境中所涉及的记忆和遗传性（Heredity）、非局部性（Non-locality）、自相似性（Self-similarity）、路径依赖性（Long-range-dependence）等性质提供更为深刻全面的阐述,且模型更为简单明了。由于分数阶算子本身特有的复杂性和非局部性使得模型不能轻易的获得其解析解,通常情况下需要借助于数值方法来求解。本文主要针对工程中重要的位势问题和一维非稳态热传导问题,提炼其整数阶本构模型,并重点构建分数阶本构模型对其进行数值求解。所构建的模型和算法不仅适用于广义的分数阶,更适用于文中给定的整数阶模型。文中给出的所有测试算例均是针对实际问题抽象出一般性的数学模型,进而利用给定的数值方法进行求解。全文的核心要点主要分为以下几部分:（1）本文旨在讨论两类二维位势问题的数值解,即泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程,且满足狄利克雷（Dirichlet）和诺伊曼（Neumann）边界条件。文中首先引入块脉冲函数（Block-Pulse functions）的定义,并由此定义构建满足该基函数的向量,然后将原问题的解函数由该基向量近似表示,接着将原问题的微分项也表示成向量形式,最后离散未知变量对形成的线性方程组数值求解。数值结果表明本文给出的方法较其它数值算法构造简单、运行速度快,且能获得高的数值精度。（2）本文利用分数阶微分算子矩阵方法求解三维位势问题Poisson方程和Laplace方程的数值解。该方法基于一维Block-Pulse函数的微分算子矩阵并构造相应的三维Block-pulse函数的微分算子矩阵,然后将原问题的每一项同边界条件均表示成向量形式,最后离散未知变量求解。以往求解三维位势问题数值解常用的方法是利用球谐函数和三维Taylor级数展开,而本文提出的方法是将待求问题的解函数由三维Block-Pulse函数展开,该方法构造简单,运行速度快,而且当级数展开达到64项时,即可达到10-310-4的数值精度。（3）本文利用Chebyshev小波求解一类一维常系数非稳态热传导问题的数值解,该方法基于第二类Chebyshev小波的定义并构造相应的分数阶积分算子矩阵,然后将此积分算子矩阵应用于初始问题微分项的处理,使得原问题被转化为关于未知解的线性代数方程组,最后得到原问题的数值解。相比传统的傅里叶分析,小波能任意的提取短期负荷序列的细节,因此具有更高的数值精度,而且数值结果验证了本文所提方法的可行性及有效性。（4）针对一维非稳态变系数热传导问题,本文提出利用Chebyshev多项式进行数值求解,用正交多项式函数去逼近微分方程的基本解,所得数值结果相比解析结果能获得10-910-10的收敛精度。由于本章讨论的是变系数问题,对于变系数的处理,以往处理起来都比较困难,这里通过引入乘积算子矩阵,进而将初始问题转化为统一的向量形式。另外本文还针对所讨论的问题给出了误差分析,且数值结果也表明本文提出的方法对于求解此类问题有很高的数值精度。