【摘 要】
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在量子力学中,具有球对称势函数的Schr（?）dinger方程和Dirac方程可以用来描述粒子在中心力场中的诸多物理运动.比如:电子在原子核Coulomb场中的运动;粒子在无限深球方势阱中的运动等.因此这两类方程在量子力学中占有重要的地位,这就引起了众多数学和物理工作者的广泛关注.本文所研究的具有Bessel势函数的微分算子便来源于具有球对称势函数的Schr（?）dinger方程和Dirac方程.
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在量子力学中,具有球对称势函数的Schr（?）dinger方程和Dirac方程可以用来描述粒子在中心力场中的诸多物理运动.比如:电子在原子核Coulomb场中的运动;粒子在无限深球方势阱中的运动等.因此这两类方程在量子力学中占有重要的地位,这就引起了众多数学和物理工作者的广泛关注.本文所研究的具有Bessel势函数的微分算子便来源于具有球对称势函数的Schr（?）dinger方程和Dirac方程.由于此类算子势函数的奇异性,它们的研究不能用经典的微分算子理论去刻画.因此,研究具有Bessel势函数的微分算子就具有深刻的数学和物理意义.这不仅可以为粒子的量子行为提供理论依据,还可以丰富微分算子的理论研究.本文主要针对Bessel算子和Dirac-Bessel算子的逆谱问题展开研究,全文共分为六章,内容如下:第一章为绪论部分,介绍了 Bessel算子和Dirac-Bessel算子的研究背景,逆谱问题的研究现状,以及本文的主要工作和创新点.第二章介绍了本文所涉及的一些基本概念及相关定理.第三章讨论了势函数在子区间上已知的Dirac-Bessel算子的逆谱问题.借助于部分特征值和赋范常数的信息,证明了整个区间上的势函数是唯一确定的.本章利用特征值和特征函数的渐近性质,以及经典的Levinson估计,重新构造了 一系列不等式关系,将已知的势函数的信息和谱信息与Weyl函数建立联系,进而利用Weyl函数的信息来唯一确定整个区间上的势函数.第四章研究了紧致星型图上Dirac-Bessel算子的逆谱问题.本文首次给出星型图上Dirac-Bessel算子的Weyl向量及Weyl解的定义,并提出了利用Green矩阵来研究Weyl解的渐近估计的方法,证明了 Dirac-Bessel算子可以由Weyl向量唯一确定.特别地,我们的结果对正则型Dirac算子也是适用的.第五章考虑了具有分布势函数的Bessel算子,主要讨论了第n个特征值关于边界条件的连续依赖性问题.首先我们引入广义的Prufer变换,借助于Prufer角的性质刻画了第n个特征值的位置,并给出了特征函数的振荡性质;接下来,构造一个具有分布势函数的Sturm-Liouville算子序列,并利用Prufer角的性质,得到了该算子序列的特征值与具有分布势函数的Bessel算子的特征值之间的关系.基于这一新关系,结合算子亏指数以及自伴扩张的相关理论知识进而得到了连续依赖性的结果.第六章研究了 Bessel算子的逆谱问题.一方面考虑了区间（0,1）上经典的Bessel算子的逆结点问题.首先,证明了区间（a,1）,a∈(0,1/2]上任一孪生稠密的结点子集均可唯一确定整个区间上的势函数;然而当a∈（1/2,1）时,与区间（a,1）上孪生稠密的结点子集对应的特征值不足以唯一确定势函数,此时则需要补充额外的谱信息来保证唯一性结果的成立.另一方面,作为第三章Dirac-Bessel算子的唯一性结果的应用,考虑了具有分布势函数的Bessel算子的逆谱问题.针对势函数在子区间上已知的情形,给出了通过部分特征值以及部分赋范常数的信息来唯一确定势函数的条件.
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