本文研究了代数组合学以及数值逼近中的一些问题,主要针对差商形式的Faa,di Bruno公式以及其在行列式恒等式上的一些应用.另外,以Faa di Bruno公式作为工具对Hermite插值给出了一种新的表达形式,即对称群循环指标表示,同时研究了其数值微分公式及其余项的渐进表示。 在曲线参数方程的多项式插值研究中,一般有其固定的框架.通常的问题是选取节点组s0,s1….sn让多项式Pn逼近曲线f,使得dp(f|[so,sn],Pn)的逼近阶尽可能高,而g是一个严格单调的函数。 在误差的研究中,一般会考虑复合函数f o g的高阶导数的上界.然而,这里需要f o g是光滑性比较好的函数,在其光滑性较差的情形下,我们通常会考虑复合函数f o g的高阶差商,希望通过f和g的高阶差商的上界来估计f o g的高阶差商的上界.所以,本文第一个要解决的问题就是对于给定的函数f和g,以及给定的节点组t0,t1…,tn,复合函数h:=f o g在这组节点上的n阶差商,被用函数f在节点组g(t0),g(t1)….g(tm)上的诸个差商(m=1,2,…,n)和g在取自t0,t1…,tn的节点组上的诸个差商的组合表示出来。 Faa di Bruno公式是组合分析中一个非常重要的公式,主要是用来解决复合函数高阶导数的显式表达问题,其在统计学中有着广泛的应用.其具体表达为： 在本文的第三章中,我们通过对差商的链式法则的研究及Steffensen公式的运用,给出了四种不同表达方式的差商形式Faa di Bruno公式.特别当给定的节点完全重合时便导致关于f o g的高阶导数的Faa di Bruno公式.该公式的证明方法多种多样,对其证明的研究与应用一直以来从未间断过,我们这个方法也可以看作是对其的一个新的证明.由于公式相对比较复杂,为了便于理解,我们对阶数相对较低的情况给出了一些例子。 Mina行列式恒等式是一个整齐漂亮的恒等式： 从而引起很多数学家的兴趣.关于其的证明和推广已有大量的文献出现.我们利用差商的性质,以差商形式Faa di Bruno公式作为主要工具,给出了离散形式的Mina行列式恒等式,特别当节点完全重合时,再一次得到了该恒等式.进-步,我们把离散形式的Mina行列式恒等式推广到关于复合函数的行列式恒等式,使得离散形式的Mina行列式成为其一个特例.同时,我们也考虑了带权函数的行列式恒等式.所有的结果都是对文献[28]的进一步推广.这些结果包含了很多组合学上的经典恒等式.我们给出了一些具体例子加以说明.除此之外。我们考虑Mina行列式恒等式在g导数意义下的情形,利用差商与g导数的关系,给出了相应的恒等式。 最近,随着大量的关于多变量的复合函数的高阶导数求解文献的出现,Faadi Bruno公式也被推广为高维的形式[33,36,71].然而,它们的表达和证明是如此的繁琐以致很难被用来实际计算.我们希望通过我们的研究来简化该表达式和证明过程,同时推广Faa di Bruno公式.假定函数f和g满足f:V→Fg:U→V,而函数h:U→F是一个复合函数并且等于f o g,用t→f(g(t))来表示.F表示实数集R或复数集C.另外,UF,VFs是一个正整数。根据[27]中g的差商的定义,我们能得到以下的推广的Faa di Bruno公式,是一个含有多个向量变量x1,x2…,xn的普通型部分Bell多项式.除此之外,我们根据混合偏差商的定义和性质,对差商形式的Fa(a) di Bruno公式也给出了相应的推广形式,并且在此基础上给出了例子进行说明。最后,我们讨论了Hermite插值.众所周知,插值和差商是数值分析中非常重要的解析运算工具.它们有着广泛的应用,如在方程求根、求积公式等等.对于Hermite插值很多教科书只讲到特殊的Hermite插值,即插值多项式及其一阶导数满足已知的插值条件.很少教科书会给出一般Hermite插值多项式的具体表达式.在本文中,我们结合组合分析中一个重要的概念,即对称群循环指标多项式,即是n个符号的由α1个长为1,α2个长为2,…αn个长为n的循环合成的置换的数目。我们以它作为表示工具,给出了一般Hermite插值多项式的显式表达式,并且我们研究了其数值微分公式及其余项.假定给定一点x,在x的充分小的领域内被插函数是光滑的,我们可以用Hermite插值多项式的导数来逼近被插函数的导数,并给出了相应的余项的渐进展开。