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本文中，我们应用Morse理论研究一类二阶常微分方程周期边值问题的多解的存在性。
考虑周期边值问题{-x=f(t，x)，x(0)-x(2π)=x(0)-x(2π)=0其中f：[0，2π]×R→R是连续可微函数，满足k2≤liminf|x|→∞f(t,x/x)≤limsup|x|→∞f(t,x/x)≤(k+1)2,k∈Z+(1.1)由于线性特征值问题{-x=λx，x(0)-x(2π)=x(0)-x(2π)=0的特征值是m2，m=0，1，2，3…，且m2的特征值重数是2(m≥1时)所以(1.1)表明问题(P)在无穷远处在两个连续的特征值之间共振。设f(t，0)=0，则问题(P)有一个平凡解。本文讨论在此情形下问题(P)的非平凡的2π-周期解的存在性。
引入Sobolev空间H：={x∈L2([0，2π]，R)x∈L2([0，2π]，R)，x(0)=x(2π)，x(0)=x(2π).}H是一个Hilbert空间，它的内积和范数定义为=∫2π0(xy+xy)dt，‖x‖2=x，y∈H定义泛函J(x)=1/2∫2π0|x|2dt-∫2π0F(t，x)dt，x∈H(1.2)其中F(t，x)=∫x0f(t，s)ds。由于f∈C1，故J∈C2(H，R)，且其导数为：=∫2π0xydt-∫2π0f(t，x)ydt，()x,y∈H=∫2π0yzdt-∫2π0f′(t，x)yzdt，()x,y，z∈H因而求(P)的弱解等价于寻求泛函J在H中的临界点。按(P0)的特征值将H分解为Ek⊕Ek+1⊕E+⊕E-，其中Ek=ker(-x-k2x)，Ek+1=ker(-x-(k+1)2x)，E-=k-1⊕j=0ker(-x-j2x)，E+=(Ek⊕Ek+1⊕E-)⊥记f1(t，x)=f(t，x)-k2x，f2(t，x)=f(t，x)-(k+1)2x.我们对函数f(t，x)赋予以下条件
(H1)(1)若v∈Ek，则∫v＞0liminfx→+∞[f1(t,x)v]dt+∫v＜0limsupx→-∞[f1(t,x)v]dt＞0(2)若v∈Ek+1，则∫v＞0liminfx→+∞[-f2(t，x)v]dt+∫v＜0limsupx→-∞[-f2(t，x)v]dt＞0(H2)存在函数0≤H(t)∈L1([0，2π])使得sgn(x)f1(t，x)≥H(t)，x∈R，t∈[0，2π]，存在函数0≤K(t)∈L1([0，2π])使得sgn(x)[-f2(t，x)]≥K(t)，x∈R，t∈[0，2π].(H±0)设f(t，0)=m2，且存在δ＞0使得±(F(t，x)-1/2m2x2)≥0，|x|≤δ，t∈[0，2π].本文的主要结果是下面的定理
定理1设f满足(1.1)，(H1)，(H2)，k≥1，假设f(t，0)＜0，t∈[0，2π].则问题(P)至少有两个非平凡2π周期解。定理2设f满足(1.1)，(H1)，(H2)和(H3)m2＜f′(t，0)＜(m+1)2，t∈[0,2π]，m≠k.则问题(P)至少有两个非平凡2π周期解。定理3设f满足(1.1)，(H1)，(H2)。如果还有下列条件之一成立：(i)(H+0)且m≠k；(ii)(H-0)且m≠k+1；那么问题(P)至少有两个非平凡2π周期解.