随着科学技术的发展,越来越多的问题出现在工程计算领域中。许多学者用各种各样的方程来描述这些问题,除了人们熟知的带有各式各样复杂定解条件的微分方程、积分方程和积分-微分方程外,还出现了新的方程。分数阶微分方程就是从生物化学,水文地质,图像处理等问题中提出的新类型的方程。在再生核空间中,我们将这些方程写成统一的算子方程形式,并讨论统一的数值求解方法。之所以选择再生核空间,是因为在再生核空间中讨论这些问题具有较高的统一性。本文的工作如下:首先,在实际应用中,不同的问题被不同的定解条件所限定。根据这些不同的定解条件,我们构造了相应的再生核空间,这些再生核空间中的再生核函数及其它函数满足全部的定解条件。也就是说,一旦有了这样的再生核空间再也不必顾及边界条件,这样在该空间中逼近问题就简单了。依次构造了最基本的再生核空间,满足三点边值条件的再生核空间,以及适合求解偏微分方程的再生核空间,并给出再生核函数的具体求解方法。其中在求解适合偏微分方程的再生核空间的再生核函数时,本文采用用内积公式直接推导再生核表达式的方式,而并非传统的用两个一维再生核空间再生核函数乘积的方式获得再生核函数。其次,我们以单投影方法为基础对其进行改进成双投影方法,用这两种方法求解了第三类Fredholm积分方程。单投影方法的收敛速度不够理想,改进后的双投影方法大大加快了算法的收敛速度。单、双投影方法只适用于求解线性算子方程,基于双投影方法,构造迭代序列,给出了求解非线性算子方程的双投影迭代方法,并以求解非线性三阶三点边值问题为例证明了该算法的收敛性。再次,到目前为止,据我们所知还没有应用再生核理论求解分数阶方程的文献。本文将双投影方法的思想加以扩展,应用于线性分数阶偏微分方程的求解问题上,通过求解空间-时间分数阶对流扩散方程具体给出改进的双投影方法。最后,对于求解非线性分数阶方程,这里引入Adomian分解方法,将其与双投影方法相结合。Adomian分解方法在不改变原问题的基础上利用Adomian多项式很好的处理了非线性问题,并且得到级数形式的解能够很快收敛到真解。这种结合Adomian-双投影分解方法既简化了双投影方法的运算过程,也发挥了Adomian分解方法能得到快速收敛解的优势,充分发挥各自方法的优势,有效地求解了非线性分数阶方程。总之,本文是以再生核理论为基础,提出单投影方法用于求解算子方程,以该方法的思想为主线,改进形成双投影方法,双投影迭代法,改进的双投影方法以及Adomian-双投影分解方法,并将这些方法分别应用到常微分方程,偏微分方程的求解上。为了进一步验证理论分析的结果,将抽象的理论加以应用,对不同类型的方程,用相应的方法进行数值实验,实验结果分析表明这些方法具有实用性。