时滞微分方程是具有时间滞后的微分方程,它用于描述既依赖当前状态,又依赖过去历史状态的动力系统.由于充分考虑了历史对当前状态的影响,它在物理、化学、工程、信息、经济,特别是在生物数学等诸多领域都有重要应用.时滞微分方程平衡点的稳定性,特别是全局稳定性在实际应用中有重要的意义,而如何构造一个恰当的李雅普诺夫泛函来研究平衡点的全局稳定性,则成为具有很大吸引力和挑战性的课题.分支问题是时滞微分方程研究中的另一个重要的课题,其研究对象是结构不稳定系统,即当参数变化并经过某些临界值时,系统的某些结构属性发生根本的变化.时滞微分方程稳定性和分支问题的研究既要用到经典的动力系统理论,又要用到拓扑、代数、泛函等相关知识,其研究有重大的理论意义和强烈的实际背景. 本文内容共分为三部分. 第一部分,我们简要介绍了时滞微分方程的基本性质,给出各种稳定性的定义,研究了常系数线性时滞微分方程解的性态与其对应的特征方程根的分布之间的关系.运用斯特姆函数序列系统的分析了一般三阶指数多项式方程λ< 3>+α<,2>λ<2>+α<,1>λ+α<,0>+(b<,2>λ<2>+b<,1>λ+b<,0>)e<-λT>=0,(0.0.1)推广了已有的结果,同时给出李雅普诺夫泛函的定义及相关定理.另外,本部分还介绍了时滞微分方程的相空间分解理论、中心流形定理、局部Hopf分支理论、非线性自治时滞微分方程的分解、庞加莱规范型、Floquet理论和分支周期解的稳定性以及全局H0pf分支理论. 第二部分,我们将时滞微分方程基本理论应用到四类具有时滞的种群生态学模型系统中,重点研究了时滞对这些系统动力学行为的影响. §3.1建立并研究了六阶具有捕捞的阶段结构的两种群竞争模型系统: x<,1>(t)=α<,1>x<,2>(t)-γ<,1>x<,1>(t)-α<,1>e-T<,1>X<,2>(t-T<,1>),X<,2>(t)=a<.1>e-γ<,1>T<,1>x<,2>7(t-T<,1>)-β<,1>X<2><,2>(t)-E<,1>(t)X<,2>(t)-a<,1>X<,2>(t)y<,2>(t),y<,1>(t)=a<,2>y<,2>(t)-γ<,2>y<,1>(t)-A<,2>e-γ<,2>T<,2>y<,2>(t-T<,2>),(0.0.2)y<,2>(t)=α<,2>e-γ<,2>T<,2>(t-T<,2>)-β<,2>y<2><,2>(t)-E<,2>(t)y<,2>(t)-a<,2>x<,2>(t)y<,2>(t),E<,1>(t)=K<,1> E<,1>(t)(P<,1>x<,2>(t)-c<,1>),E<,2>(t)=k<,2>E<,2>(t)(P<,2>y<,2>(t)-c<,2>).我们修改了文献[139]中的两种群阶段结构竞争模型,引入捕捞率函数E<,1>(t)和E<,2>(t),从而使模型更具有现实意义.模型系统由原来的四阶变为现在的六阶时滞微分方程,这大大增加了研究的难度.我们证明了该系统解的正不变性、有界性,给出系统出现九个平衡点的参数条件,分析了平衡点的稳定性,并指出在这种参数条件下,不存在Hopf分支. §3.2研究了具有时滞的三阶传染病模型系统: §(t)=αs[1-(s+i)]-si,i(t)=-b<,2>i+si-liy,(0.0.3)y(t)=-b<,1>y+kli{t-t)y(t-T).对传染病模型,通常研究其解的正不变性和有界性,平衡点的存在性和局部稳定性以及Hopf分支的存在性等.然而,对高阶时滞微分方程的分支研究甚少.我们的研究结果表明:小时滞并不影响系统正平衡点的稳定性.而当时滞超过一定的临界值时,正平衡点由稳定变为不稳定,产生Hopf分支.另外,利用中心流形和规范型理论,通过研究时滞微分方程的高阶项,得到由Hopf分支所产生的分支周期解的性质,如分支方向、稳定性及周期等. §3.3分析了更具实际意义的一阶时滞Logistic方程: X(t)=rx(t)[1-α<,1>(t)-a<,2>x(t-T)],(0.0.4)Gopalsamy[43]通过证明当0<1时,方程(0.0.4)的所有解趋向于其正平衡点,研究了参数r与r对方程(0.0.4)动力学行为的影响.对生态系统而言,平衡点的稳定性及解的周期性是一个重要而基本的问题.本节主要研究参数α<,1>,α<,2>及时滞r对Logistic方程(0.0.4)的动力学行为的影响.通过分析正平衡点对应的特征方程,得到正平衡点绝对稳定的条件.在一定的参数条件下,通过构造适当的李雅普诺夫泛函,证明了正平衡点是全局渐近稳定的.另外,我们分析了系统产生Hopf分支的条件及分支周期解的一系列性质,随后对系统的局部Hopf分支进行了全局延拓. §3.4对下列具有时滞的捕食者一食饵模型进行了全局分析,对方程(0.0.5)而言,证明其正平衡点的全局稳定性和其存在的非平凡周期一致有界相当困难,需要很多的技巧.本节通过研究,分别得到正平衡点全局稳定和系统存在全局Hopf分支的条件,从而在理论上证实了生物学家从实验和数值计算中得到的当食饵的种群密度达到一定的程度时,捕食者与食饵共存的现象. 第三部分,我们对今后工作进行了展望,提出了期待解决的问题.