【摘 要】
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奇异积分方程在物理和工程中有着广泛的应用.目前,对于奇异积分方程发展了许多行之有效的数值方法,其中配置法由于简单并且易于实施,成为求解奇异积分方程的一种重要方法.配置法的有效性通常依赖于数值积分的效率,在各类数值积分法中,Newton-Cotes公式对密度函数的正则性要求较低,网格选取自由,因而受到了许多关注.本文的主要工作可以分为三部分.第一部分我们主要研究圆周上Cauchy奇异积分的任意阶复化
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奇异积分方程在物理和工程中有着广泛的应用.目前,对于奇异积分方程发展了许多行之有效的数值方法,其中配置法由于简单并且易于实施,成为求解奇异积分方程的一种重要方法.配置法的有效性通常依赖于数值积分的效率,在各类数值积分法中,Newton-Cotes公式对密度函数的正则性要求较低,网格选取自由,因而受到了许多关注.本文的主要工作可以分为三部分.第一部分我们主要研究圆周上Cauchy奇异积分的任意阶复化Newton-Cotes公式及其超收敛现象.对Newton-Cotes公式的误差做适当的渐近估计可以发现,当奇异点的局部坐标选为某个特殊函数的零点时,会出现超收敛现象.基于这类特殊函数的一些性质,我们可以证明每个子区间内部超收敛点的存在性.利用超收敛性质,我们提出一种新的数值积分公式,它可以计算奇异积分在节点处的值,这对于设计有效的配置算法非常关键.最后,我们给出了一些算例验证了理论分析结果.文章的第二部工作主要研究奇异积分方程的配置法.将奇异积分和超奇异积分的超收敛结果应用于积分方程的配置法,通过选取超收敛点为配置点,我们得到求解奇异积分方程的一些特殊配置格式.运用谱分析,我们把配置格式系数矩阵的特征值表示成一个级数的形式,从而得到了配置法的最优误差估计.同时我们给出了一些数值实验,相应的数值结果与理论分析吻合.论文的第三部分主要研究奇异积分方程在反边值问题中的应用.利用圆周上的自然积分方程及其反演公式,把Laplace方程的反边值问题转化为一对超奇异积分方程和弱奇异积分方程的组合,通过选取三角插值近似奇异积分的计算并构造相应的配置格式,利用Tikhonov正则化方法求解所得到的线性方程组.数值实验表明了该方法的有效性.
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