假设P是图G的一个性质。如果G中每个点的开邻域的导出子图具有性质P,我们就说G是局部P的。Ryjacek猜想:每一个连通、局部连通图是弱泛圈的。van Aardt 等人[S.A.van Aardt,M.Frick,O.R.Oellermann,J.P.de Wet,Global cycle properties in locally connected,locally traceable and locally hamilto-nian graphs,Discrete Appl.Math.205(2016)171-179]受到此猜想的启发,研究了局部连通、局部可迹、局部哈密尔顿图的圈性质,他们证明了一个最大度至少是|V(G)|-5的连通,局部连通图是弱泛圈的。在第二章中我们加强了这个结论,我们证明了在这样的图中,如果最大度至少是|V(G)|-6,那么也是弱泛圈的。进一步,我们证明了一个具有最大度不超过7的连通,局部哈密尔顿连通图是完全圈可扩的。在文献[10]中,Wet和van Aardt证明了一个连通局部哈密尔顿图,如果它的阶n≤13,那么它是可迹的。在第三章中我们也限制了最大度与点数,得到了点数不超过10且最大度不大于7的连通,局部哈密尔顿图是完全圈可扩的,并且根据这个结论我们得到了一个推论,点数n≤10的连通,局部哈密尔顿图是泛圈的。