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凸几何作为现代几何学的一个重要分支，它以凸体和星体为主要研究对象，以 Lp-Brunn-Minkowski理论作为凸体理论的核心.2010年, Lutwak, Yang和Zhang引入了Orlicz投影体和Orlicz质心体到Brunn-Minkowski理论中进行研究.自此，Orlicz-Brunn-Minkowski理论及其对偶理论逐渐形成并得到飞速发展，现已发展成国际上几何分析领域的热点研究方向.本文首先利用Lp-Brunn-Minkowski理论的基本知识和方法对该理论中的某些基础理论进行了研究；其次运用 Orlicz-Brunn-Minkowski理论将经典 Brunn-Minkowski理论中的一些理论进行推广，并得到了相关的新颖的结果.最后，通过代数方法建立了几何空间的广义度量方程，并对其相关极值问题进行了研究. 本文的主要研究工作分为以下几个方面： (1)1996年, Lutwak提出Lp-曲率映象的概念，在随后的研究中,凸体的i次Lp—曲率映象的概念被提出，本章利用Brunn-Minkowski-Fiery理论，通过研究i次Lp-曲率映象的概念及其性质，建立了几个联系i次Lp-曲率映象和均质积分（或对偶均质积分）的不等式. (2)自从Lutwak,Yang和Zhang引入了 Orlicz投影体和Orlicz质心体之后，Orlicz-Brunn-Minkowski理论及其对偶理论逐渐形成并得到飞速发展，而本章就是将对偶Brunn-Minkowski理论中对偶仿射均质积分的概念推广到对偶Orlicz-Brunn-Minkowski理论中，引进了对偶 Orlicz混合仿射均质积分的概念，建立了对偶Orlicz混合仿射均质积分的 Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式. (3)度量方程作为著名的Cayley-Menger代数的推广，经过杨路和张景中基础性的工作，使其成为距离几何中最主要的研究对象之一.在此基础之上，本章提出了球面型空间中双基本图形的概念，利用代数方法建立了球面型空间中双基本图形的广义度量方程，从而推广了杨路和张景中关于球面型空间中度量方程的结论.作为初步应用，给出了球面型空间中涉及两个单形的一些有趣公式.