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对于各类算术函数性质的研究一直以来都在数论研究中占有十分重要的地位，很多著名的数论难题都与之密切相关.美籍罗马尼亚数论专家F.Smarandache教授曾提出了许多关于Smarandache函数的问题以及相关的猜想，他在美国出版的《Only Problems，Not Solutions!》一书中提出了105个与数论函数、序列相关的猜想和未解决的问题.同时，Kenichiro Kashibara博士和Charles Ashbacher博士分别在《Comments and Topics on SmarandacheNotions and Problems》和《Collection of Problems on Smarandache Notions》中都提出了许多未解决的Smarandache问题，其中不少问题具有一定的研究价值.这些问题的提出，引起了许多数论爱好者的研究兴趣，并获得了很多具有重要理论价值的研究成果.
鉴于对上述问题研究的兴趣，本文主要运用初等数论和解析数论的方法研究了一个包含Gauss函数的方程，一些新的Smarandache函数和相关素数子序列的性质，进一步给出了相关方程的所有实数解，序列的恒等式以及渐近公式.本文的主要内容如下：
1.利用初等方法及Gauss取整函数[x]的性质研究了方程x[y]-[x]y=|x-y|的可解性，并给出它的所有实数解.
2.学习了Smarandache素数子序列和π(n)的性质，并利用初等方法证明了limn→∞SPDSN(n)/π(n)=0.
3.定义了新的Smarandache可乘函数D(n)，并利用初等和解析的方法研究了ln(D(n))函数和ln(D(n))/n函数均值的性质，并且给出了较强的渐近公式.