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本文的研究属于多复变函数论中有界拟凸域上的复几何分析的范畴．我们所研究的域是华罗庚域，主要讨论Bcrgman核函数、Kaihler-Einstcin度量的显表达式、经典不变度量的等价以及Bergman核函数的零点等四个方面的问题．
第一章 Kahler-Einstein 度量复流形上 Kahler-Einstein 度量存在性的证明由 Yau 等人在20世纪70年代末给出．设M是一个紧致的Kahler流形，丘成桐证明了当第一陈类C<,1>(M)=0或C<,1>(M)<0时，每一个 Kahler类有一个唯一的Kahler-Einstein度量，当C<,1>(M)>0时，存在性一般是不成立的[36，37]．随后，郑绍远和丘成桐在1980年又证明了一大类非紧致流形上Kahler-Einstein度量的存在性．特别的，郑绍远和丘成桐证明了任何一个具有C<2>边界的有界拟凸域D容许一个完备的Kahler-Einstein度量[38]．1983年，莫毅明和丘成桐又推广了这一结果，他们证明了C中的任意有界拟凸域都有一个完备的Kahler-Einstein 度量，但是并没有给出度量的显表达式[39]．一直以来，人们所知道的仅是一些齐性流形例子，对于非齐性的例子知之甚少．1986年，J．S．Bland对一类Rcinhardt域{｜z｜+｜w｜<2p><1}给出了其Kahler-Einstein度量生成函数的隐函数表达式[42]．2001年，殷慰萍、王安等人计算出cartan-Hartogs域在纤维维数为1(即w∈C)的完备的Kahler-Einstein度量的显表达式[29，30，31]．
我们这一章中首先给出第二类Cartan-Hartogs域Y<,11>(N，p；K)在纤维维数N>1，参数K=时的完备的Kahler-Einstcin度量的显式表达，然后计算此度量的全纯截曲率并估计出其负的上下确界．根据M．Hcins的结果[106]，我们给出了 Kahler-Einstcin 度量与Kobayashi度量的比较定理．最后证明在K=时，Y<,11>(N，p；K)的Kahler-Einstcin度量与Bcrgman度量等价．
第二类Cartan-Hartogs域Y<,11>，(N，p；K)定义如下：Y<,11>(N，p：K)={w∈C．Z∈R<,II>(p)：‖w‖<2>0}这里R<11>(p)表示华罗庚意义下的第二类Cartan域，dct表示行列式．Z表示矩阵Z的共轭，‖w‖<2>=∑<,j=1>｜w<,j>｜<2>，p∈N．
众所周知，Bergman度量(β)、carathèodory度量(c)、Kobayashi度量(κ)和Kihler-Einstein度量(ε)是复分析中四类重要的双全纯不变量．在研究域的边界的几何和双全纯映照的光滑延拓到边界等问题中，它们扮演着非常重要的角色．而它们之间的等价问题则对理解域的几何和拓扑性质有很大的帮助，因此引起许多数学家的重视．例如1976年，S．Kobayashi给出所有流形上都有C≤κ成立[15]．1978年，K．T．Hahn给出关系c≤2β[19]．1982年，L．Lempcrt证明C中的所有凸域上都有C=κ成立[33]．2000年，殷慰萍、王安等人证明关系β≤C*κ对于一些Reinhardt域成立[22，23，24，25，26，27]，其中C<*>是一正常数．最近，刘克峰、孙晓峰和丘成桐研究了不变度量的等价问题．他们证明了上述四种不变度量在Riemann曲面的模空间和Teichmiiller空间上相互等价，从而解决了丘成桐早期关于ε与β等价的猜想[61]．
我们在这一章中主要证明了第二类Cartan-Hartogs域Y<,Ⅱ>(r，p；K)上的Khler-Einstein度量与Bergman度量等价对于任意的K>0,r∈N成立．通过引入一个与Bergman度量等价的过渡度量，我们估计出它的Ricci曲率和全纯截曲率具有负的上下界．然后应用丘成桐在流形上推广的Schwarz引理证明新的过渡度量与Kihler-Einstein度量等价，从而得到ε与β的等价．作为应用，我们给出了第二类Cartan-Hartogs域Y<,Ⅱ>(r,p;K)上β、C、κ、ε等价的两个充分条件或者．
第三章华结构的Bergman核函数C中有界域的Bergman核函数的研究一直都是多复变函数理论的一个重要方面Bergman核函数的概念是波兰著名数学家s．Bergman在1921年研究复平面上的正交展开时引进的：它恰好是平方可积函数空间到平方可积的全纯函数子空间的正交射影的再生核．1933年，Bcrgroan又把这一理论推广到多变量的情形．众所周知，C中的有界域都存在Bcrgman核函数．然而研究Bergman核函数，比如如它的显表达式、零点问题以及边界行为等等并非易事．这是因为除了齐性域和少数的Rcihardt域之外，很少有区域上的Bergman核可以显式给出．通常，构造一些可以求出Bcrgman核函数的显表达的域，是比较困难的．因此，一些数学家认为，凡是Bergman核函数能显式表示的域都是很好的域和值得研究的域．
2003年，殷慰萍引进了一些新的类型的可以求出Bergman核函数的显表达式的域．我们称之为华结构．与计算华罗庚域的Bcrgman核函数的方法相似，我们首先给出其全纯自同构群，其中的元素F(w,z)将点(w,z)映为点(w<*>，O)．由于Bcrgman核函数在全纯自同构群下的变换公式．K((w，z)；(w,z)=|dct(J<,F>)|<2>k((w<*>,0)；(w<*>,0))，所以问题变为只须计算K((w<*>,0)；(w<*>,0))．我们定义介于圆型域与Rcinhardt域之间的Semi-Reinhardt域的概念，并且求出了Semi．Reinhardt域的完备规范正交系.华结构是Semi-Reinhardt域，所以可将K((w<*>,0)；(w<*>,0))表示为 (|w<*><,1>|,|w<*><,2>,…，多重无穷级数，如果能求出这个级数的和，就得到了华结构的Bergman核函数的显表达式．第二类华结构的定义如下：其中||w(j)||<2>=|j1|<2>+…+|w<,j>N<,j>|<2>，j=1，…r.R<,Ⅱ>表示华罗庚意义下的第二类典型域．Z表示z的共轭，det表示方阵的行列式．N<,1>…，N<,r> ∈ N．我们得到如下的结果：
陆启铿猜想主要是研究何种类型的域的 Bergman 核函数无零点的问题．一个区域D上的Bergman核的零点使得在D上不能定义一个整体的所谓Bergman表示坐标，就是陆启铿提上述问题的动机．1969年，波兰数学家 M．Skwarczynski[99]第一个把陆启铿提出的问题称为陆启铿猜想，并且把Bcrgman核函数没有零点的域称为陆启铿域．通常我们知道球和多圆柱都是陆启铿域，但是要判断任意一有界域的 Bergman 核的零点相当困难．在很长一段时间，人们猜想所有强拟凸域均为陆启铿域．直到1985年，H．P．Boas给出一个反例，域Ω<,H>={(z<,1>，z<,2>)∈C<2>∶｜z<,2>｜}的Bergman核函数在原点有零点[76]．由于它是拟凸的，因而可从内部被一列递增，强拟凸的完全Rcinhardt域逼近．由Ramadanov定理(一列非减区域上的Bergman核局部一致地收敛为这些区域的并集上的Bergman核)和Hurwitz定理，我们立刻得到反例．在此之后，几乎每年都会有一个关于Bergman核函数有零点的例子，即所谓的陆启铿猜想的反例．
我们主要以第一类Cartan-Hartogs 域为例Y<,1>(N，m，n；K)={W ∈C，Z∈R<,I>(m，n)：｜W｜<2K>0}，从正反两方面得到以下的结果：
·m=n=1时，Y<,I>(N，1，1；K)是陆启铿域；
·m=1，n=2时，-Y<,I>(1，1，2；K)是陆启铿域当且仅当K≥；
-Y<,I>(2，1，2；K)是陆启铿域当且仅当K≥；
-当N≥3，对于任意的K>0，域Y<,I>(N，1，2；K)总是陆启铿域．
·m=1，n=3时．
-Y<,I>(1，1，3；K)是陆启铿域当且仅当K≥；
-当N≥6，对于任意的K>0，域Y<,I>(N，1，3；K)总是陆启铿域．
·m=1，n=4时，Y<,I>(1，1，4；K)是陆启铿域当且仅当 K≥；
关键诃有界对称域、Cartan-Hartogs域，华罗庚域，华结构．KahlerEinstcin 度量，全纯截曲率，陆启铿猜想．