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本文主要包含两部分内容.其一，利用KAM理论研究了一类次线性反转系统的Lagrange稳定性，即所有解是有界的;其二，利用KAM方法研究了一类退化的斜积系统（包含连续系统和离散系统）的可约化性.自A.N.Kolmogorov[29]，V.I.Arnold[1]及J.K.Moser[48]建立KAM理论以来，该理论作为20世纪最伟大的数学成就之一，在天体力学和量子力学中发挥着重要的作用.动力系统理论主要研究物体随着时间变化的运动规律.通常分为两类:由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代描述的离散动力系统.我们也可认为动力系统的两类基本研究对象分别为微分方程和映射.作为动力系统理论研究的重要主题，微分方程和映射有着广泛的应用.例如，物理，特别是力学，天文学中许多数学模型都是用连续或离散动力系统描述的. 众所周知，Duffing方程在很多的学科中有重要的应用，Littlewood[40]提出研究Duffing方程解的有界性.许多学者利用KAM理论中的Moser扭转定理研究了Hamilton系统解的有界性，见[10，11，17，18，20，34，36，47，51，72，69，76].由于反转系统和Hamilton系统的某种相似性，很多Hamilton系统的结果可以推广到反转系统，见[32，37，70，60].与Hamilton系统情形类似，反转系统研究中最难的也是次线性情形.这方面的结果也是很少的. 黎雄[37]研究了次线性反转系统:(x)+f(x)(x)+|x|α-1x=e（t）(0.0.1)解的有界性.最近，王新平[60]考虑了更一般的情形(x)+f(x)g((x)）+γ|x|α-1x=p(t)，(0.0.2)其中0＜α＜1，γ≠0.同时，假设下列条件成立: i)f(x)，g(x)∈C4(R），p(t)∈C4(T)，f(x)，p(t)为奇函数，p(t)为1-周期函数. ii)存在正常数μ使得，若|x|≥μ，则|xi+1f(i)|≤C|x|α/2-β,|yjg(j)|≤C|j|(Τ)，其中β＞1/2[1+(1+α)(Τ)]，(Τ)＞0. 则系统(0.0.2)所有解有界当且仅当γ＞0.无论是[37]还是[60]，方程中位势函数均不依赖于时间t.本文中，作者考虑一类具有周期驱动的次线性反转系统(x)+f(x)(x)+（B+εe（t)）|x|α-1x=p(t)，(0.0.3)其中B≠0，0＜α＜1. 假设该系统满足下列条件: (A1)f(x)∈C4(R），p(t)∈C3(T)及e(t)∈C3(T)，f(x)和p(t)是奇函数，e(t)是偶函数，并且e(t)，p(t)均为以1为周期的周期函数，其中T=R/Z; (A2)存在正常数μ使得不等式|xi+1f(i)(x)|≤C|x|α/2-β对所有的0≤i≤4及|x|≥μ成立，其中0＜β＜α/2，C为大于或等于1的常数. 则存在ε**＞0，使得对任意的0＜ε＜ε**，系统(0.0.3)所有解有界当且仅当B＞0.此外还证明了系统(0.0.3) Mather型解的存在性. 上述问题的主要研究思路是通过利用KAM定理（Moser扭转定理）来研究相应于微分方程的Poincaré映射来得到方程的Lagrange稳定性. 本文的另一个工作是利用KAM理论研究一类微分方程和斜积映射的可约化性.许多学者广泛的应用KAM理论来研究微分方程的可约化性问题.(A).Jorba[24，25]和徐君祥[67，68，66]分别研究了椭圆和半双曲退化等情形. 本文中，作者考虑更一般的退化情况{(x)=ym+∈(f)1(x，y，t)+h1(x，y，t)，(0.0.4)(y)=xn+∈f2(x，y，t)+(h)2(x，y，t)，其中mn＞1，n≥m.考虑对应的Poincaré映射{(x)=x+ym+∈f1(x,y,θ,∈)+h1(x,y,θ,∈),(y)=y+ xn+∈f2(x，y，θ，∈）+h2(x，y，θ，∈)，(0.0.5)(θ)=θ+ω，以及{(x)=x+y+xn+∈f1(x，y，θ，∈)+h1（x，y，θ，∈），(y)=y+ xn+∈f2(x，y，θ，∈)+h2（x，y，θ，∈），(0.0.6)(θ)=θ+ω.其中ω=(ω1，ω2，…，ωd）∈Rd.并且，fi和hi有形式f1（x，y，θ，∈）=Σ0≤i+j≤nf1ij(θ，∈)xiyj,h1(x，y，θ，∈)=Σi+j≥n+1 h1ij（θ，∈）xiyi，(0.0.7)f2（x，y，θ，∈）=Σ0≤i+j≤n f2ij(θ，∈)xiyj, h2(x，y，θ，∈)=Σi+j≥n+1h2ij（θ，∈）xiyj，(0.0.8)且f(0，0，θ，∈)≠0，h(0，0，θ，∈)=0，记f=(f1，f2)T，h=(h1，h2)T.当∈=0时，u（θ）=0为一双曲不变环.这里称f为低阶项，h为高阶项.不失一般性，我们假设n≥m.如果n≤m，可得类似的结果. 记(c，γ)类型的Diophantine向量的集合为DC(c，γ)，即若ω∈DC(c，γ)，有|（k，ω）-l|≥c|k|γ，(V)k∈Z{0}， l∈Z，其中|k|=|k1|+…+|kd|，c＞0，γ＞d-1.记[f]为函数f(θ)关于θ的平均. 令c＞0，γ＞d-1≥0，r＞0，ρ＞0.假设ω∈DC(c，γ)，hi，fi关于x，y，∈在原点的一个开集上实解析，关于θ在一带状邻域上解析，且hi，fi分别形如(0.0.7)和(0.0.8)，其中i=1，2.同时，设[f100]{＜0当m是偶数时，≠0当m是奇数时，和[f200]{＜0当n是偶数时，≠0当n是奇数时.则存在足够小的∈0＞0，使得当∈＜∈0时，映射(0.0.5)至少有一个解析的弱双曲不变环. 类似的，对于映射(0.0.6)，得到如下结果:令c＞0，γ＞d-1≥0，r＞0，ρ＞0.假设ω∈DC(c，γ)，hi，fi关于x，y，∈在原点的一个开集上实解析，关于θ在一带状邻域上解析，且hi，fi分别形如(0.0.7)和(0.0.8)，其中i=1，2.同时，设[f200]{＜0当n是偶数时，≠0当n是奇数时.则存在足够小的∈0＞0，使得当∈＜∈0时，映射(0.0.6)至少有一个解析的弱双曲不变环. 上述结果除了其本身所具有的意义之外，还解决了相应的具有半退化或完全退化平衡点的微分方程(0.0.4)的可约化性问题. 本文共分为四章，具体安排如下: 第一章，介绍了经典KAM理论及反转系统和可约化性的相关理论以及研究现状.同时还给出了本文的主要结果以及问题的难点. 第二章，考虑了反转系统(x)+ f(x)(x)+(B+εe(t))|x|α-1x=p(t)解的有界性.给出了一个充分必要条件.同时，证明了Mather型解的存在性. 第三章，考虑了一类退化系统{(x)=x+ym+∈f1(x，y，θ，∈)+h1(x，y，θ，∈），(y)=y+ xn+∈f2(x，y，θ，∈）+h2(x，y，θ，∈），(θ)=θ+ω,其中mn＞1，n≥m，f为关于x，y低于阶n+1的低阶项，h为关于x，y高于阶n+1的高阶项，并且ω=(ω1，ω2，…，ωd)∈Rd为有理无关的频率向量.则如果ω是Diophantine的，且∈＞0足够小，该映射至少有一个弱双曲不变环，其中弱的意思为相应的特征值接近于1.同时可得相应的微分方程有拟周期解. 第四章，我们考虑光滑映射{(z)=Az+∈f（z，θ）+h(z，θ)，(θ)=θ+ω,其中z∈Rn，n≥1，f=(f1，f2)T，h=(h1，h2)T，f，h∈Ckr,ρ(Rn×Td，Rn)，k∈{1，2,…，∞，ω}，即函数f，h可以是任意阶光滑或解析的，A为n×n阶矩阵，且具有n个异于1的实特征值，即设A的特征值为（λ1,…，λn），则λi≠1，(i=1,…，n).我们利用隐函数定理证明了上述映射不变环面的存在性.